Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.1.4

Placez le terme $a$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + a \cdot 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $a$ par $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 1.3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + \frac{a}{x})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \frac{a}{x})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \frac{a}{x}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{a}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [1 + \frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{a}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{a}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.6

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{a}{x}$ par rapport à $x$ est $a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + \frac{a}{x}} (a \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.7

Associez $a$ et $\frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{a}{1 + \frac{a}{x}} (- x^{- 2})}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.10

Associez $\frac{a}{1 + \frac{a}{x}}$ et $x^{- 2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a x^{- 2}}{1 + \frac{a}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.11

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{(1 + \frac{a}{x}) x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12

Simplifiez

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Étape 3.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{1 x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2

Associez des termes.

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Étape 3.12.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a}{x} x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.2

Associez $\frac{a}{x}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x^{2}}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 3.12.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.12.2.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x^{1}}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{x (a x)}{x \cdot 1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + \frac{a x}{1}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.2.3.2.5

Divisez $a x$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x^{2} + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} + a x$ .

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Étape 3.12.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + a x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.3.2

Factorisez $x$ à partir de $a x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x \cdot x + x a}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.12.3.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x a$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 3.13

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}$

Étape 3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- x^{- 2}}$

Étape 3.15

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{a}{x (x + a)}}{- \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} - \frac{a}{x (x + a)} (- x^{2})$

Étape 5

Combinez les facteurs.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \infty} 1 \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{a}{x (x + a)}$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a}{x (x + a)} x^{2}$

Étape 5.3

Associez $\frac{a}{x (x + a)}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{a x^{2}}{x (x + a)}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $a x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{x (a x)}{x (x + a)}$

Étape 6.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{a x}{x + a}$

Étape 6.2

Placez le terme $a$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{x}{x + a}$

Étape 7

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x$ .

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Étape 8

Évaluez la limite.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.1.1

Annulez le facteur commun.

$a lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Étape 8.1.2

Réécrivez l’expression.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{x}{x} + \frac{a}{x}}$

Étape 8.2.2

Réécrivez l’expression.

$a lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{a}{x}}$

Étape 8.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$a \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Étape 8.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{a}{x}}$

Étape 8.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$a \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Étape 8.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$a \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{a}{x}}$

Étape 8.7

Placez le terme $a$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$a \frac{1}{1 + a lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Étape 9

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$a \frac{1}{1 + a \cdot 0}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1.1

Multipliez $a$ par $0$ .

$a \frac{1}{1 + 0}$

Étape 10.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$a \frac{1}{1}$

Étape 10.2

Divisez $1$ par $1$ .

$a \cdot 1$

Étape 10.3

Multipliez $a$ par $1$ .

$a$