Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - e^{x}}{3 + 5 e^{x}}$

Étape 1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 - lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{3 - \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.2.3.1

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\frac{3 + - \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.2.3.2

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + 5 e^{x}}$

Étape 1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} 5 e^{x}}$

Étape 1.3.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{3 + lim_{x \to \infty} 5 e^{x}}$

Étape 1.3.2

Comme la fonction $e^{x}$ approche de $\infty$ , la constante positive $5$ fois la fraction approche également de $\infty$ .

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Étape 1.3.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $5$ retiré.

$\frac{- \infty}{3 + lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Étape 1.3.2.2

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{- \infty}{3 + \infty}$

Étape 1.3.3

L’infini plus ou moins un nombre est l’infini.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.3.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{- \infty}{\infty}$

Étape 2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 - e^{x}}{3 + 5 e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.5

Soustrayez $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [3 + 5 e^{x}]}$

Étape 3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 + 5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}$

Étape 3.7

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}$

Étape 3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

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Étape 3.8.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Étape 3.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{0 + 5 e^{x}}$

Étape 3.9

Additionnez $0$ et $5 e^{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{5 e^{x}}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{- e^{x}}{5 e^{x}}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{- 1}{5}$

Étape 5

Évaluez la limite de $\frac{- 1}{5}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{- 1}{5}$

Étape 6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5}$