Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (θ) = \frac{2}{10}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (θ) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = - \sqrt{{(10)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(10)}^{2} - {(2)}^{2}}$ .

Adjacent $= - \sqrt{{(10)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

Adjacent $= - \sqrt{100 - 4}$

Étape 4.5

Soustrayez $4$ de $100$ .

Adjacent $= - \sqrt{96}$

Étape 4.6

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

Adjacent $= - \sqrt{16 (6)}$

Étape 4.6.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

Adjacent $= - \sqrt{4^{2} \cdot 6}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

Adjacent $= - (4 \sqrt{6})$

Étape 4.8

Multipliez $4$ par $- 1$ .

Adjacent $= - 4 \sqrt{6}$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $2$ et $10$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\sin (θ) = \frac{2 (1)}{10}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 5}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{- 4 \sqrt{6}}{10}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$\cos (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{10}$

Étape 6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\cos (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{2 (5)}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

Étape 6.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (θ) = \frac{2}{- 4 \sqrt{6}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\tan (θ)$ .

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Étape 7.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $- 4$ .

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Étape 7.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\tan (θ) = \frac{2 (1)}{- 4 \sqrt{6}}$

Étape 7.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = \frac{2 (1)}{2 (- 2 \sqrt{6})}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = \frac{2 \cdot 1}{2 (- 2 \sqrt{6})}$

Étape 7.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = \frac{1}{- 2 \sqrt{6}}$

Étape 7.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (θ) = - \frac{1}{2 \sqrt{6}}$

Étape 7.3.3

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - (\frac{1}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 7.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 7.3.4.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 7.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 7.3.4.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 7.3.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 7.3.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{- 4 \sqrt{6}}{2}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$\cot (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{2}$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\cot (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{2 (1)}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{2 (- 2 \sqrt{6})}{2 \cdot 1}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{- 2 \sqrt{6}}{1}$

Étape 8.3.2.4

Divisez $- 2 \sqrt{6}$ par $1$ .

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{10}{- 4 \sqrt{6}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\sec (θ)$ .

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Étape 9.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $- 4$ .

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Étape 9.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\sec (θ) = \frac{2 (5)}{- 4 \sqrt{6}}$

Étape 9.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = \frac{2 (5)}{2 (- 2 \sqrt{6})}$

Étape 9.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = \frac{2 \cdot 5}{2 (- 2 \sqrt{6})}$

Étape 9.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = \frac{5}{- 2 \sqrt{6}}$

Étape 9.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec (θ) = - \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Étape 9.3.3

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - (\frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Étape 9.3.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 9.3.4.2

Déplacez $\sqrt{6}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.4.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.4.4

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Étape 9.3.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 9.3.4.7

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 9.3.4.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.4.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.4.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.4.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.4.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 9.3.4.7.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Étape 9.3.5

Multipliez $2$ par $6$ .

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{10}{2}$

Étape 10.3

Divisez $10$ par $2$ .

$\csc (θ) = 5$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{1}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\tan (θ) = - \frac{\sqrt{6}}{12}$

$\cot (θ) = - 2 \sqrt{6}$

$\sec (θ) = - \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (θ) = 5$