Calcul infinitésimal Exemples

$\sec (0) = (\frac{7}{2})$

Étape 1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sec (0) = \frac{hypoténuse}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez le côté opposé du triangle du cercle unité. Le côté adjacent et l’hypoténuse étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Opposé = - \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Opposé = - \sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Inversez $\sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$ .

Opposé $= - \sqrt{{(\frac{7}{2})}^{2} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{7}{2}$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{7^{2}}{2^{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.3

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{2^{2}} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{4} - {(1)}^{2}}$

Étape 4.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1 \cdot 1}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1}$

Étape 4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}$

Étape 4.8

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Opposé $= - \sqrt{\frac{49 - 1 \cdot 4}{4}}$

Étape 4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.10.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{49 - 4}{4}}$

Étape 4.10.2

Soustrayez $4$ de $49$ .

Opposé $= - \sqrt{\frac{45}{4}}$

Étape 4.11

Réécrivez $\sqrt{\frac{45}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

Opposé $= - \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.1

Réécrivez $45$ comme $3^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.12.1.1

Factorisez $9$ à partir de $45$ .

Opposé $= - \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.12.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

Opposé $= - \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.12.2

Extrayez les termes de sous le radical.

Opposé $= - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.13

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.13.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

Opposé $= - \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.13.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Opposé $= - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (0)$ .

$\sin (0) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (0) = \frac{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}{\frac{7}{2}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (0)$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ dans le numérateur.

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{7}$

Étape 5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (0) = - 3 \sqrt{5} \frac{1}{7}$

Étape 5.3.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $- 3$ .

$\sin (0) = \frac{- 3}{7} \cdot \sqrt{5}$

Étape 5.3.4

Associez $\frac{- 3}{7}$ et $\sqrt{5}$ .

$\sin (0) = \frac{- 3 \sqrt{5}}{7}$

Étape 5.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (0)$ .

$\cos (0) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (0) = \frac{1}{\frac{7}{2}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (0)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (0) = 1 (\frac{2}{7})$

Étape 6.3.2

Multipliez $\frac{2}{7}$ par $1$ .

$\cos (0) = \frac{2}{7}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (0)$ .

$\tan (0) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (0) = \frac{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}{1}$

Étape 7.3

Divisez $- \frac{3 \sqrt{5}}{2}$ par $1$ .

$\tan (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (0)$ .

$\cot (0) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (0) = \frac{1}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\cot (0)$ .

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 8.3.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\cot (0) = \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Étape 8.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\cot (0) = - \frac{1}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Étape 8.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cot (0) = - (1 (\frac{2}{3 \sqrt{5}}))$

Étape 8.3.3

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ par $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2}{3 \sqrt{5}}$

Étape 8.3.4

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (0) = - (\frac{2}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 8.3.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.5.1

Multipliez $\frac{2}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 8.3.5.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 8.3.5.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 8.3.5.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 8.3.5.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.5.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 8.3.5.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 8.3.5.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.5.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.5.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.5.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.5.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.5.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 8.3.5.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 8.3.6

Multipliez $3$ par $5$ .

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (0)$ .

$\csc (0) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (0) = \frac{\frac{7}{2}}{- \frac{3 \sqrt{5}}{2}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (0)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot (- \frac{2}{3 \sqrt{5}})$

Étape 9.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3 \sqrt{5}}$ dans le numérateur.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 2}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\csc (0) = \frac{7}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\csc (0) = 7 (\frac{- 1}{3 \sqrt{5}})$

Étape 9.3.3

Associez $7$ et $\frac{- 1}{3 \sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = \frac{7 \cdot - 1}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\csc (0) = \frac{- 7}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\csc (0) = - \frac{7}{3 \sqrt{5}}$

Étape 9.3.5

Multipliez $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = - (\frac{7}{3 \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Étape 9.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.6.1

Multipliez $\frac{7}{3 \sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 9.3.6.2

Déplacez $\sqrt{5}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.6.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.6.4

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 (\sqrt{5} \sqrt{5})}$

Étape 9.3.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 9.3.6.7

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

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Étape 9.3.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 9.3.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{3 \cdot 5}$

Étape 9.3.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{15}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{7}$

$\cos (0) = \frac{2}{7}$

$\tan (0) = - \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

$\cot (0) = - \frac{2 \sqrt{5}}{15}$

$\sec (0) = \frac{7}{2}$

$\csc (0) = - \frac{7 \sqrt{5}}{15}$