Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{4 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{2}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(4 - x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Étape 1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- (2 x))$

Étape 1.1.13

Associez les fractions.

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Étape 1.1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 2 x)$

Étape 1.1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x$

Étape 1.1.13.3

Associez $\frac{- 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ et $x$ .

$\frac{- 2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.13.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{2 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{2}}$ comme ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(4 - x^{2})}^{2} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$27 {(2^{2} - x^{2})}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$27 {((2 + x) (2 - x))}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.1.3

Factorisez.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $(2 + x) (2 - x)$ .

$27 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) = 0$

Étape 3.3.3.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$27 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(2 + x)}^{2} = 0$

${(2 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3

Définissez ${(2 + x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Définissez ${(2 + x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 + x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.3.2

Résolvez ${(2 + x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.3.2.1

Définissez le $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 3.3.3.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 3.3.3.4

Définissez ${(2 - x)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Définissez ${(2 - x)}^{2}$ égal à $0$ .

${(2 - x)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.4.2

Résolvez ${(2 - x)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.1

Définissez le $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 3.3.3.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.4.2.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 3.3.3.4.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 3.3.3.4.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.4.2.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 3.3.3.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $27 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 3.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Étape 4

Évaluez $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt[3]{4 - {(0)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt[3]{4 - 0}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt[3]{4 + 0}$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sqrt[3]{4}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\sqrt[3]{4 - {(- 2)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\sqrt[3]{4 - {(2)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, \sqrt[3]{4}), (- 2, 0), (2, 0)$

Étape 5