Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{64 x^{2} - 25}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 64 x^{2} - 25$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 25] - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $64 x^{2} - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64 x^{2}$ par rapport à $x$ est $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{x (128 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (128 x + 0) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $128 x$ et $0$ .

$\frac{x (128 x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{128 (x^{1} x^{1}) - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{128 x^{1 + 1} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2} - 25)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{128 x^{2} - (64 x^{2}) - - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.2.1.1

Multipliez $64$ par $- 1$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} - - 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 25$ .

$\frac{128 x^{2} - 64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $64 x^{2}$ de $128 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$64 x^{2} + 25 = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$64 x^{2} = - 25$

Étape 2.3.2

Divisez chaque terme dans $64 x^{2} = - 25$ par $64$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $64 x^{2} = - 25$ par $64$ .

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{64 x^{2}}{64} = \frac{- 25}{64}$

Étape 2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{64}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{25}{64}$

Étape 2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$

Étape 2.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{25}{64}}$ .

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{25}{64}$ comme ${(\frac{5 i}{8})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{5 i}{8})}^{2}}$

Étape 2.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{5 i}{8}$

Étape 2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{5 i}{8}$

Étape 2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{5 i}{8}$

Étape 2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{5 i}{8}, - \frac{5 i}{8}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{64 x^{2} + 25}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{64 x^{2} - 25}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{64 {(0)}^{2} - 25}{0}$

Étape 4.1.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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