Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = 3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x^{2}$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{3} + 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$12 x^{3} + 36 x + \frac{d}{d x} [- 15]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 x^{3} + 36 x + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $12 x^{3} + 36 x$ et $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 36 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{3} + 36 x$ .

$12 x^{3} + 36 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{3} + 36 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{3} + 36 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3} + 36 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) + 36 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $36 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (3) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x^{2}) + 12 x (3)$ .

$12 x (x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} + 3$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 3$

Étape 2.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Étape 2.5.2.3.1

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Étape 2.5.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{3}$

Étape 2.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x^{2} + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{4} + 18 x^{2} - 15$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$3 {(0)}^{4} + 18 {(0)}^{2} - 15$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \cdot 0 + 18 {(0)}^{2} - 15$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 + 18 {(0)}^{2} - 15$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 18 \cdot 0 - 15$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $18$ par $0$ .

$0 + 0 - 15$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 15$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $15$ de $0$ .

$- 15$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, - 15)$

Étape 5