Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{100 x^{2} + 81}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 100 x^{2} + 81$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 81] - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 x^{2} + 81$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 x^{2}$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $2$ par $100$ .

$\frac{x (200 x + \frac{d}{d x} [81]) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x (200 x + 0) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $200 x$ et $0$ .

$\frac{x (200 x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{200 (x^{1} x^{1}) - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{200 x^{1 + 1} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.1.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2} + 81)}{x^{2}}$

Étape 1.1.9

Simplifiez

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Étape 1.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{200 x^{2} - (100 x^{2}) - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.9.2.1.1

Multipliez $100$ par $- 1$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 1 \cdot 81}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $81$ .

$\frac{200 x^{2} - 100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.2.2

Soustrayez $100 x^{2}$ de $200 x^{2}$ .

$\frac{100 x^{2} - 81}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.9.3.1

Réécrivez $100 x^{2}$ comme ${(10 x)}^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 81}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{{(10 x)}^{2} - 9^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.9.3.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 10 x$ et $b = 9$ .

$f' (x) = \frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$10 x + 9 = 0$

$10 x - 9 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $10 x + 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $10 x + 9$ égal à $0$ .

$10 x + 9 = 0$

Étape 2.3.2.2

Résolvez $10 x + 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$10 x = - 9$

Étape 2.3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = - 9$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = - 9$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Étape 2.3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 9}{10}$

Étape 2.3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 9}{10}$

Étape 2.3.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{9}{10}$

Étape 2.3.3

Définissez $10 x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $10 x - 9$ égal à $0$ .

$10 x - 9 = 0$

Étape 2.3.3.2

Résolvez $10 x - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$10 x = 9$

Étape 2.3.3.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = 9$ par $10$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = 9$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 2.3.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{9}{10}$

Étape 2.3.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{10}$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(10 x + 9) (10 x - 9) = 0$ vraie.

$x = - \frac{9}{10}, \frac{9}{10}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(10 x + 9) (10 x - 9)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{100 x^{2} + 81}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{9}{10}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{9}{10}$ .

$\frac{100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81}{- \frac{9}{10}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(100 {(- \frac{9}{10})}^{2} + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{10})}^{2}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{10}$ .

$(100 ({(- 1)}^{2} \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(100 (1 \frac{9^{2}}{10^{2}}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{9^{2}}{10^{2}}$ par $1$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.4

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.5

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.6

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 4.1.2.2.6.1

Annulez le facteur commun.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.2.6.2

Réécrivez l’expression.

$(81 + 81) (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.3.1

Additionnez $81$ et $81$ .

$162 (- \frac{10}{9})$

Étape 4.1.2.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.1.2.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10}{9}$ dans le numérateur.

$162 (\frac{- 10}{9})$

Étape 4.1.2.3.2.2

Factorisez $9$ à partir de $162$ .

$9 (18) \frac{- 10}{9}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 18 \frac{- 10}{9}$

Étape 4.1.2.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$18 \cdot - 10$

Étape 4.1.2.3.3

Multipliez $18$ par $- 10$ .

$- 180$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{9}{10}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{9}{10}$ .

$\frac{100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81}{\frac{9}{10}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(100 {(\frac{9}{10})}^{2} + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{10}$ .

$(100 \frac{9^{2}}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.2.2

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$(100 \frac{81}{10^{2}} + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.2.3

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $100$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$(100 (\frac{81}{100}) + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$(81 + 81) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1

Additionnez $81$ et $81$ .

$162 (\frac{10}{9})$

Étape 4.2.2.3.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 4.2.2.3.2.1

Factorisez $9$ à partir de $162$ .

$9 (18) \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$9 \cdot 18 \frac{10}{9}$

Étape 4.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$18 \cdot 10$

Étape 4.2.2.3.3

Multipliez $18$ par $10$ .

$180$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{100 {(0)}^{2} + 81}{0}$

Étape 4.3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- \frac{9}{10}, - 180), (\frac{9}{10}, 180)$

Étape 5