Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $x^{2} - 4 x + 4$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4 x + 4$ .

$x^{2} - 4 x + 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 x + 4 = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

Étape 2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Étape 2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 2$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 3$

Étape 4.1.2.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$\frac{8}{3} - 2 {(2)}^{2} + 4 (2) - 3$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{3} - 2 \cdot 4 + 4 (2) - 3$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 4 (2) - 3$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8}{3} - 8 + 8 - 3$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 8 - 3$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 3$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 8 - 3$

Étape 4.1.2.2.4

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} - 3$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - 3$

Étape 4.1.2.2.7

Écrivez $- 3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1}$

Étape 4.1.2.2.8

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 4.1.2.2.9

Multipliez $\frac{- 3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 - 8 \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{8 - 24 + 8 \cdot 3 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{8 - 24 + 24 - 9}{3}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.5.1

Soustrayez $24$ de $8$ .

$\frac{- 16 + 24 - 9}{3}$

Étape 4.1.2.5.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$\frac{8 - 9}{3}$

Étape 4.1.2.5.3

Soustrayez $9$ de $8$ .

$\frac{- 1}{3}$

Étape 4.1.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(2, - \frac{1}{3})$

Étape 5