Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$x^{2} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.3.9

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 (x^{\frac{1}{3}} x^{2}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 x^{\frac{1}{3} + 2} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.4

Associez $2$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x^{\frac{1 + 2 \cdot 3}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.1.2.6.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$3 x^{\frac{1 + 6}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{\frac{7}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$3 x^{\frac{7}{3}} - 2 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{\frac{7}{3}} = 2$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{7}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(3 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{7}{3}}$ .

$3^{\frac{3}{7}} {(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{7}{3}})}^{\frac{3}{7}}$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 2.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{7}{3} \cdot \frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{3}{7}} x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{3}{7}} x^{1} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez

$3^{\frac{3}{7}} x = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.3.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3^{\frac{3}{7}} x$ .

$x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$

Étape 2.4.4

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$ par $3^{\frac{3}{7}}$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $x \cdot 3^{\frac{3}{7}} = 2^{\frac{3}{7}}$ par $3^{\frac{3}{7}}$ .

$\frac{x \cdot 3^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}} = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Étape 2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 3^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}} = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Étape 2.4.4.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$x^{2} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$x^{2} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} - x^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{3} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Associez.

$\frac{1 {(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez ${(2^{\frac{3}{7}})}^{3}$ par $1$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 {(3^{\frac{3}{7}})}^{3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{3}{7} \cdot 3}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Multipliez $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.2.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $3$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{3 \cdot 3}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{3}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{7}})}^{3}$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{7} \cdot 3}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $\frac{3}{7} \cdot 3$ .

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Étape 4.1.2.1.5.2.1

Associez $\frac{3}{7}$ et $3$ .

$\frac{2^{\frac{3 \cdot 3}{7}}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.5.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3 \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $3$ par $3^{\frac{9}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.6.1

Multipliez $3$ par $3^{\frac{9}{7}}$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{1} \cdot 3^{\frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{1 + \frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{7}{7} + \frac{9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{7 + 9}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.6.4

Additionnez $7$ et $9$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - {(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{{(2^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.1.8.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.8.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.8.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.8.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{1}{7} \cdot 2}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.8.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{{(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.9

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{3}{7}})}^{\frac{2}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.9.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{3}{7} \cdot \frac{2}{3}}}$

Étape 4.1.2.1.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.1.9.3

Associez $\frac{1}{7}$ et $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}} \cdot \frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3^{\frac{16}{7}}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{2}{7}}}$ par $\frac{3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{14}{7}}}$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $3^{\frac{2}{7}}$ par $3^{\frac{14}{7}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.3.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2}{7} + \frac{14}{7}}}$

Étape 4.1.2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{2 + 14}{7}}}$

Étape 4.1.2.3.2.3

Additionnez $2$ et $14$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}} - \frac{2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{14}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4.2

Annulez le facteur commun à $14$ et $7$ .

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Étape 4.1.2.4.2.1

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.4.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7 (1)}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{7 \cdot 2}{7 \cdot 1}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{\frac{2}{1}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 3^{2}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 2^{\frac{2}{7}} \cdot 9}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{9}{7}} - 9 \cdot 2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot {(0)}^{3} - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0 - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$0 - {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 - {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.1.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$0 - 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$0 - 0^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 0$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{2^{\frac{3}{7}}}{3^{\frac{3}{7}}}, \frac{2^{\frac{9}{7}} - 9 \cdot 2^{\frac{2}{7}}}{3^{\frac{16}{7}}}), (0, 0)$

Étape 5