Calcul infinitésimal Exemples

$h (x) = \cos (\frac{3 x}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x}{2}$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3 x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.1.2.2

Associez $\frac{3}{2}$ et $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $h (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.2.1.2

Divisez $\sin (\frac{3 x}{2})$ par $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Étape 2.3.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Étape 2.3.4

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 x = 0$

Étape 2.3.5

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.5.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 0$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Étape 2.3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.5.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x = 0$

Étape 2.3.6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Étape 2.3.7

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.7.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 2.3.7.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.7.2.1.1

Simplifiez $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.7.2.1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Étape 2.3.7.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Simplifiez $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

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Étape 2.3.7.2.2.1.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Étape 2.3.7.2.2.1.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 2.3.8

Déterminez la période de $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

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Étape 2.3.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.3.8.2

Remplacez $b$ par $\frac{3}{2}$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| \frac{3}{2} |}$

Étape 2.3.8.3

$\frac{3}{2}$ est d’environ $1.5$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{\frac{3}{2}}$

Étape 2.3.8.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 π \frac{2}{3}$

Étape 2.3.8.5

Multipliez $2 π \frac{2}{3}$ .

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Étape 2.3.8.5.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} π$

Étape 2.3.8.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{3} π$

Étape 2.3.8.5.3

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{4 π}{3}$

Étape 2.3.9

La période de la fonction $\sin (\frac{3 x}{2})$ est $\frac{4 π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{4 π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 2.4

Consolidez les réponses.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $\cos (\frac{3 x}{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\cos (\frac{3 (0)}{2})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (0)$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})$

Étape 4.1.2.1.2.4

Divisez $3 \cdot (0)$ par $1$ .

$\cos (3 \cdot (0))$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 4.1.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 π}{3}$ .

$\cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Associez $3$ et $\frac{2 π}{3}$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})$

Étape 4.2.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1

Réduisez l’expression $\frac{6 π}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 π$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})$

Étape 4.2.2.3.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})$

Étape 4.2.2.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})$

Étape 4.2.2.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})$

Étape 4.2.2.3.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 4.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{2 π}{2})$

Étape 4.2.2.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\cos (π)$

Étape 4.2.2.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \cos (0)$

Étape 4.2.2.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 4.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + \frac{4 π n}{3}, 1), (\frac{2 π}{3} + \frac{4 π n}{3}, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 5