Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(- 3 x^{2} + 12)}^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = - 3 x^{2} + 12$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 u \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x^{2} + 12$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12])) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.6

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 3 (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.7

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.8

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$7 (2 (- 3 x^{2} + 12) (- 6 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.9

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$7 (- 12 (- 3 x^{2} + 12) x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $- 12$ par $7$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 84 (- 3 x^{2} + 12) x + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- 84 (- 3 x^{2}) - 84 \cdot 12) x + 0$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 84 (- 3 x^{2}) x - 84 \cdot 12 x + 0$

Étape 1.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $- 3$ par $- 84$ .

$252 x^{2} x - 84 \cdot 12 x + 0$

Étape 1.1.4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$252 (x^{1} x^{2}) - 84 \cdot 12 x + 0$

Étape 1.1.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$252 x^{1 + 2} - 84 \cdot 12 x + 0$

Étape 1.1.4.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$252 x^{3} - 84 \cdot 12 x + 0$

Étape 1.1.4.3.5

Multipliez $- 84$ par $12$ .

$252 x^{3} - 1008 x + 0$

Étape 1.1.4.3.6

Additionnez $252 x^{3} - 1008 x$ et $0$ .

$f' (x) = 252 x^{3} - 1008 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $252 x^{3} - 1008 x$ .

$252 x^{3} - 1008 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $252 x^{3} - 1008 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$252 x^{3} - 1008 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $252 x$ à partir de $252 x^{3} - 1008 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $252 x$ à partir de $252 x^{3}$ .

$252 x (x^{2}) - 1008 x = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $252 x$ à partir de $- 1008 x$ .

$252 x (x^{2}) + 252 x (- 4) = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $252 x$ à partir de $252 x (x^{2}) + 252 x (- 4)$ .

$252 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$252 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$252 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$252 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $252 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $7 {(- 3 x^{2} + 12)}^{2} + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$7 {(- 3 {(0)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 {(- 3 \cdot 0 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$7 {(0 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$7 \cdot 12^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$7 \cdot 144 + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $7$ par $144$ .

$1008 + 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $1008$ et $1$ .

$1009$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$7 {(- 3 {(- 2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 4.2.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$7 {(- 3 {(2)}^{2} + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$7 {(- 3 \cdot 4 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$7 {(- 12 + 12)}^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.2

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$7 \cdot 0^{2} + 1$

Étape 4.3.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$7 \cdot 0 + 1$

Étape 4.3.2.1.4

Multipliez $7$ par $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 1009), (- 2, 1), (2, 1)$

Étape 5