Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 1.5 x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 1.5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 1.5 x^{2}$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1.5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1.5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 1.5 (2 x))$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1.5$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$

Étape 1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- 1.5 x^{2}} (- 3 x)$ .

$- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$

Étape 1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- 1.5 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 1.5 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 1.5 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 1.5 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 1.5 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 3 x e^{- 1.5 x^{2}} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $e^{- 1.5 x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$e^{- 1.5 {(0)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 1.5 \cdot 0}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1.5$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 5