Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) + x^{3} - 7 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 7$ par $1$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7 + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Additionnez $\cos (x) + 3 x^{2} - 7$ et $0$ .

$\cos (x) + 3 x^{2} - 7$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 + \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 7 + \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 7] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 x + 0 - \sin (x)$

Étape 2.5

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f''' (x) = 6 - \cos (x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 4.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Étape 4.2.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$0 + \sin (x)$

Étape 4.3

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$f^{4} (x) = \sin (x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\sin (x)$ .

$\sin (x)$