Calcul infinitésimal Exemples

Comme ${\displaystyle 6}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 6x^5}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 6\frac{d}{dx}\left[x^5\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=5}$.

Multipliez ${\displaystyle 5}$ par ${\displaystyle 6}$.

Utilisez ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ pour réécrire ${\displaystyle \sqrt{x}}$ comme ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Pour écrire ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Pour écrire ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\displaystyle 6}$, en multipliant chacun par un facteur approprié de ${\displaystyle 1}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Additionnez ${\displaystyle 3}$ et ${\displaystyle 2}$.

Comme ${\displaystyle 4}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 4x^{\frac{5}{6}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{5}{6}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{5}{6}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{6}{6}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$.

Associez ${\displaystyle 4}$ et ${\displaystyle \frac{5x^{-\frac{1}{6}}}{6}}$.

Multipliez ${\displaystyle 5}$ par ${\displaystyle 4}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{1}{6}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Factorisez ${\displaystyle 2}$ à partir de ${\displaystyle 20}$.

Annulez les facteurs communs.

Comme ${\displaystyle -10}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle -10e^{\frac{x}{2}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle -10\frac{d}{dx}\left[e^{\frac{x}{2}}\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{x}{2}}$.

Comme ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{x}{2}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left[x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Multipliez ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ par ${\displaystyle 1}$.

Associez ${\displaystyle e^{\frac{x}{2}}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Associez ${\displaystyle -10}$ et ${\displaystyle \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}}$.

Annulez le facteur commun à ${\displaystyle -10}$ et ${\displaystyle 2}$.

Comme ${\displaystyle 30}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 30x^4}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 30\frac{d}{dx}\left[x^4\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=4}$.

Multipliez ${\displaystyle 4}$ par ${\displaystyle 30}$.

Comme ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3^x\ln \left(3\right)}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \ln \left(3\right)\frac{d}{dx}\left[3^x\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[a^x\right]}$ est ${\displaystyle a^x\ln \left(a\right)}$ où ${\displaystyle a}$=${\displaystyle 3}$.

Élevez ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Élevez ${\displaystyle \ln \left(3\right)}$ à la puissance ${\displaystyle 1}$.

Utilisez la règle de puissance ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ pour associer des exposants.

Additionnez ${\displaystyle 1}$ et ${\displaystyle 1}$.

Comme ${\displaystyle \frac{10}{3}}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle \frac{10}{3x^{\frac{1}{6}}}}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{10}{3}\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}\right]}$.

Réécrivez ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{6}}}}$ comme ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-1}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{6}}}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{6}}$.

Multipliez les exposants dans ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^{-2}}$.