Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (x + 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = (2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ et $g (x) = x + 3$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 3] + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) (1 + 0) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) \cdot 1 + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2 x^{3} + 3 x$ par $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) \frac{d}{d x} [(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x^{3} + 3 x$ et $g (x) = x - 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) ((2 x^{3} + 3 x) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $2 x^{3} + 3 x$ par $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 3 x])$

Étape 1.4.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 1.4.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 1.4.8

Multipliez $3$ par $2$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x]))$

Étape 1.4.9

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3 \cdot 1))$

Étape 1.4.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Factorisez $1$ à partir de $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ .

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Étape 1.5.1.1

Factorisez $1$ à partir de $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Étape 1.5.1.2

Factorisez $1$ à partir de $(x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

Étape 1.5.1.3

Factorisez $1$ à partir de $1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1)) + 1 ((x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$ .

$1 ((2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)))$

Étape 1.5.2

Multipliez $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$ par $1$ .

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (x + 3) (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3))$

Étape 1.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 x^{3} + 3 x) (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.1

Développez $(2 x^{3} + 3 x) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} (x - 1) + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x (x - 1) + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.2.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.1.1

Déplacez $x$ .

$2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.5.4.2.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot - 1 + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.2.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot - 1 + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.2.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + (x - 1) (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.3.1

Développez $(x - 1) (6 x^{2} + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.5.4.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2} + 3) - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2} + 3)) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + x (6 x^{2}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.3.2.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.5.4.3.2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{2 + 1} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + x \cdot 3 - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 \cdot x - 1 (6 x^{2}) - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.4

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 1 \cdot 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.3.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (2 x^{3} + 3 x + 6 x^{3} + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.4

Additionnez $2 x^{3}$ et $6 x^{3}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 3 x + 3 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.5

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + (8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$

Étape 1.5.4.6

Développez $(8 x^{3} + 6 x - 6 x^{2} - 3) (x + 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{3} x + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.4.7.1

Multipliez $x^{3}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.7.1.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x \cdot x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.1.2

Multipliez $x$ par $x^{3}$ .

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Étape 1.5.4.7.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 (x^{1} x^{3}) + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{1 + 3} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.1.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 8 x^{3} \cdot 3 + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.7.3.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x \cdot 3 - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.4

Multipliez $3$ par $6$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{2} x - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.4.7.5.1

Déplacez $x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x \cdot x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.5.4.7.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 (x^{1} x^{2}) - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{1 + 2} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 6 x^{2} \cdot 3 - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.6

Multipliez $3$ par $- 6$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 3 \cdot 3$

Étape 1.5.4.7.7

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 24 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 6 x^{3} - 18 x^{2} - 3 x - 9$

Étape 1.5.4.8

Soustrayez $6 x^{3}$ de $24 x^{3}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} + 6 x^{2} + 18 x - 18 x^{2} - 3 x - 9$

Étape 1.5.4.9

Soustrayez $18 x^{2}$ de $6 x^{2}$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x - 3 x - 9$

Étape 1.5.4.10

Soustrayez $3 x$ de $18 x$ .

$2 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 8 x^{4} + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Étape 1.5.5

Additionnez $2 x^{4}$ et $8 x^{4}$ .

$10 x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 18 x^{3} - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Étape 1.5.6

Additionnez $- 2 x^{3}$ et $18 x^{3}$ .

$10 x^{4} + 16 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x - 12 x^{2} + 15 x - 9$

Étape 1.5.7

Soustrayez $12 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} - 3 x + 15 x - 9$

Étape 1.5.8

Additionnez $- 3 x$ et $15 x$ .

$f' (x) = 10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 x^{4} + 16 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x^{4}$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$10 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $10$ .

$40 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$40 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.4.3

Multipliez $2$ par $- 9$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.5.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.6.1

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12 + 0$

Étape 2.6.2

Additionnez $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ et $0$ .

$f'' (x) = 40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $40 x^{3} + 48 x^{2} - 18 x + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 x^{3}$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.2.3

Multipliez $3$ par $40$ .

$120 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$120 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$120 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Étape 3.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18 x$ par rapport à $x$ est $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.4.3

Multipliez $- 18$ par $1$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$120 x^{2} + 96 x - 18 + 0$

Étape 3.5.2

Additionnez $120 x^{2} + 96 x - 18$ et $0$ .

$f''' (x) = 120 x^{2} + 96 x - 18$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $120 x^{2} + 96 x - 18$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [120 x^{2}]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $120 x^{2}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$120 (2 x) + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.2.3

Multipliez $2$ par $120$ .

$240 x + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $96$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $96 x$ par rapport à $x$ est $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$240 x + 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$240 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.3.3

Multipliez $96$ par $1$ .

$240 x + 96 + \frac{d}{d x} [- 18]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Comme $- 18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 18$ par rapport à $x$ est $0$ .

$240 x + 96 + 0$

Étape 4.4.2

Additionnez $240 x + 96$ et $0$ .

$f^{4} (x) = 240 x + 96$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $240 x + 96$ .

$240 x + 96$