Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan (4 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sec^{2} (4 x) \cdot 4$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{2} (4 x)$ .

$f' (x) = 4 \sec^{2} (4 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sec^{2} (4 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (4 x)$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (4 x)$ .

$4 (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.5

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.6

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$8 \sec^{2} (4 x) (\tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.10

Multipliez $4$ par $8$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x) \cdot 1$

Étape 2.12

Multipliez $32$ par $1$ .

$f'' (x) = 32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x)$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$ .

$32 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan (4 x)]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (4 x)$ et $g (x) = \tan (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.4

Multipliez $\sec^{2} (4 x)$ par $\sec^{2} (4 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $\sec^{2} (4 x)$ .

$32 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.5

Différenciez.

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Étape 3.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) (4 \cdot 1) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.5.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$32 (\sec^{4} (4 x) \cdot 4 + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.5.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{4} (4 x)$ .

$32 (4 \cdot \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + \tan (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)]))$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (4 x)$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \cdot \tan (4 x) \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.8.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $4 x$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.9

Élevez $\tan (4 x)$ à la puissance $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.10

Élevez $\tan (4 x)$ à la puissance $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 (\tan^{1} (4 x) \tan^{1} (4 x)) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 {\tan (4 x)}^{1 + 1} \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec (4 x) (\sec (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 3.13

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.14

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) {\sec (4 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 3.17

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 2 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.18

Multipliez $4$ par $2$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) \cdot 1)$

Étape 3.20

Multipliez $8$ par $1$ .

$32 (4 \sec^{4} (4 x) + 8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Étape 3.21

Simplifiez

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Étape 3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$32 (4 \sec^{4} (4 x)) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Étape 3.21.2

Associez des termes.

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Étape 3.21.2.1

Multipliez $4$ par $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 32 (8 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x))$

Étape 3.21.2.2

Multipliez $8$ par $32$ .

$128 \sec^{4} (4 x) + 256 \tan^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Étape 3.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f''' (x) = 256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x) + 128 \sec^{4} (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

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Étape 4.2.1

Comme $256$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $256 \sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)$ par rapport à $x$ est $256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)]$ .

$256 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x) \tan^{2} (4 x)] + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.2

$256 (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (4 x)] + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (4 x)$ .

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Étape 4.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.4.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (4 x)]) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Étape 4.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $\sec (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\sec (u_{4})] \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.8.2

La dérivée de $\sec (u_{4})$ par rapport à $u_{4}$ est $\sec (u_{4}) \tan (u_{4})$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (u_{4}) \tan (u_{4}) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $4 x$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (\sec^{2} (4 x) \cdot 4)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.12

Déplacez $4$ à gauche de $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (2 \tan (4 x) (4 \cdot \sec^{2} (4 x))) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.13

Multipliez $4$ par $2$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.14

Multipliez $\sec^{2} (4 x)$ par $\sec^{2} (4 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.14.1

Déplacez $\sec^{2} (4 x)$ .

$256 (\sec^{2} (4 x) \sec^{2} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.14.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 ({\sec (4 x)}^{2 + 2} (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.14.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$256 (\sec^{4} (4 x) (8 \tan (4 x)) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.15

Déplacez $8$ à gauche de $\sec^{4} (4 x)$ .

$256 (8 \cdot \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.16

Multipliez $4$ par $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.17

Déplacez $4$ à gauche de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (2 \sec (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.18

Multipliez $4$ par $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.19

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.20

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.22

Additionnez $1$ et $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x) \tan (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.23

Multipliez $\tan^{2} (4 x)$ par $\tan (4 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.23.1

Déplacez $\tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.23.2

Multipliez $\tan (4 x)$ par $\tan^{2} (4 x)$ .

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Étape 4.2.23.2.1

Élevez $\tan (4 x)$ à la puissance $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{1} (4 x) \tan^{2} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + {\tan (4 x)}^{1 + 2} (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.23.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + \tan^{3} (4 x) (8 \sec^{2} (4 x))) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.2.24

Déplacez $8$ à gauche de $\tan^{3} (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + \frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [128 \sec^{4} (4 x)]$ .

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Étape 4.3.1

Comme $128$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $128 \sec^{4} (4 x)$ par rapport à $x$ est $128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 \frac{d}{d x} [\sec^{4} (4 x)]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = \sec (4 x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ est $n {u_{5}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $\sec (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) \frac{d}{d x} [\sec (4 x)])$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{6}$ comme $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\sec (u_{6})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sec (u_{6})$ par rapport à $u_{6}$ est $\sec (u_{6}) \tan (u_{6})$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (u_{6}) \tan (u_{6}) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{6}$ par $4 x$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 4.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) (4 \cdot 1)))$

Étape 4.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x) \cdot 4))$

Étape 4.3.7

Déplacez $4$ à gauche de $\sec (4 x) \tan (4 x)$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (4 \sec^{3} (4 x) (4 \cdot (\sec (4 x) \tan (4 x))))$

Étape 4.3.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{3} (4 x) (\sec (4 x) \tan (4 x)))$

Étape 4.3.9

Élevez $\sec (4 x)$ à la puissance $1$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 (\sec^{1} (4 x) \sec^{3} (4 x)) \tan (4 x))$

Étape 4.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 {\sec (4 x)}^{1 + 3} \tan (4 x))$

Étape 4.3.11

Additionnez $1$ et $3$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 128 (16 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x))$

Étape 4.3.12

Multipliez $16$ par $128$ .

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Étape 4.4

Simplifiez

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Étape 4.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$256 (8 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Étape 4.4.2

Associez des termes.

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Étape 4.4.2.1

Multipliez $8$ par $256$ .

$2048 (\sec^{4} (4 x) \tan (4 x)) + 256 (8 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Étape 4.4.2.2

Multipliez $8$ par $256$ .

$2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 (\tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)) + 2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$

Étape 4.4.2.3

Additionnez $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ et $2048 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x)$ .

$f^{4} (x) = 4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$ .

$4096 \sec^{4} (4 x) \tan (4 x) + 2048 \tan^{3} (4 x) \sec^{2} (4 x)$