Calcul infinitésimal Exemples

$s (x) = {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 6}{2 x + 6}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 x - 6$ et $g (x) = 2 x + 6$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \frac{d}{d x} [3 x - 6] - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) (3 + 0) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{(2 x + 6) \cdot 3 - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $2 x + 6$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 \cdot (2 x + 6) - (3 x - 6) \frac{d}{d x} [2 x + 6]}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + \frac{d}{d x} [6])}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.11

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) (2 + 0)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.12

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.12.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - (3 x - 6) \cdot 2}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.12.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2} \frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.3.12.3

Associez $\frac{3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)) \cdot 3}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

Étape 1.3.12.4

Déplacez $3$ à gauche de $3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6)$ .

$\frac{3 \cdot (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} {(\frac{3 x - 6}{2 x + 6})}^{2}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 x - 6}{2 x + 6}$ .

$\frac{3 (3 (2 x + 6) - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x - 6))}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 (2 x) + 3 \cdot 6 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 (2 x)) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 (6 x) + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{18 x + 3 (3 \cdot 6) + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{18 x + 3 \cdot 18 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.4

Multipliez $3$ par $18$ .

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 2 (3 x)) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.5

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{18 x + 54 + 3 (- 6 x) + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.6

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 (- 2 \cdot - 6)}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.7

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 3 \cdot 12}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.8

Multipliez $3$ par $12$ .

$\frac{18 x + 54 - 18 x + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.9

Soustrayez $18 x$ de $18 x$ .

$\frac{0 + 54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.10

Additionnez $0$ et $54$ .

$\frac{54 + 36}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.11

Additionnez $54$ et $36$ .

$\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.12

Multipliez $\frac{90}{{(2 x + 6)}^{2}}$ par $\frac{{(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2}}$ .

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2} {(2 x + 6)}^{2}}$

Étape 1.4.5.13

Multipliez ${(2 x + 6)}^{2}$ par ${(2 x + 6)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.5.13.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{2 + 2}}$

Étape 1.4.5.13.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{90 {(3 x - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x - 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\frac{90 {(3 (x) - 6)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{90 {(3 x + 3 \cdot - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot - 2$ .

$\frac{90 {(3 (x - 2))}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6.2

Appliquez la règle de produit à $3 (x - 2)$ .

$\frac{90 \cdot 3^{2} {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{90 \cdot 9 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.6.4

Multipliez $90$ par $9$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x) + 6)}^{4}}$

Étape 1.4.7.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 x + 2 \cdot 3)}^{4}}$

Étape 1.4.7.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 3$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{{(2 (x + 3))}^{4}}$

Étape 1.4.7.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x + 3)$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{2^{4} {(x + 3)}^{4}}$

Étape 1.4.7.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{810 {(x - 2)}^{2}}{16 {(x + 3)}^{4}}$

Étape 1.4.8

Annulez le facteur commun à $810$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.8.1

Factorisez $2$ à partir de $810 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{16 {(x + 3)}^{4}}$

Étape 1.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16 {(x + 3)}^{4}$ .

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

Étape 1.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (405 {(x - 2)}^{2})}{2 (8 {(x + 3)}^{4})}$

Étape 1.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $\frac{405}{8}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{405 {(x - 2)}^{2}}{8 {(x + 3)}^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$ .

$\frac{405}{8} \frac{d}{d x} [\frac{{(x - 2)}^{2}}{{(x + 3)}^{4}}]$

Étape 2.2

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{({(x + 3)}^{4})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{4})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{4 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x - 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x - 2$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de ${(x + 3)}^{4}$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 \cdot {(x + 3)}^{4} (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2] - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) (1 + 0) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) \cdot 1 - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}]}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x + 3$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 3$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - {(x - 2)}^{2} (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} (1 + 0))}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.5

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.7.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} ({(x + 3)}^{3} \cdot 1)}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.5.2

Multipliez ${(x + 3)}^{3}$ par $1$ .

$\frac{405}{8} \cdot \frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.7.5.3

Multipliez $\frac{405}{8}$ par $\frac{2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3}}{{(x + 3)}^{8}}$ .

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) - 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 (2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1

Factorisez $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ à partir de $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.1.1

Factorisez $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ à partir de $405 \cdot 2 {(x + 3)}^{4} (x - 2)$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.1.2

Factorisez $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ à partir de $405 (- 4 {(x - 2)}^{2} {(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.1.3

Factorisez $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2)$ à partir de $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3)) + 405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- 4 (x - 2))$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) - 4 (x - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 3) - 4 (x - 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 (x - 2)$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (x + 3) + 2 (- 2 (x - 2))$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 (x - 2)))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x - 2 \cdot - 2))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (x + 3 - 2 x + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.5

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (2 (- x + 3 + 4))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.6

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) \cdot 2 (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.2.7

Multipliez $2$ par $405$ .

$\frac{810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1

Annulez le facteur commun à $810$ et $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $810 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ .

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{8 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8 {(x + 3)}^{8}$ .

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

Étape 2.8.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7))}{2 (4 {(x + 3)}^{8})}$

Étape 2.8.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.3.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 3)}^{3}$ et ${(x + 3)}^{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.2.1

Factorisez ${(x + 3)}^{3}$ à partir de $405 {(x + 3)}^{3} (x - 2) (- x + 7)$ .

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{4 {(x + 3)}^{8}}$

Étape 2.8.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.8.3.2.2.1

Factorisez ${(x + 3)}^{3}$ à partir de $4 {(x + 3)}^{8}$ .

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

Étape 2.8.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x + 3)}^{3} ((405 (x - 2)) (- x + 7))}{{(x + 3)}^{3} (4 {(x + 3)}^{5})}$

Étape 2.8.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(405 (x - 2)) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

$\frac{405 (x - 2) (- x + 7)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{405 (- x + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{405 (- (x) + 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.6

Réécrivez $7$ comme $- 1 (- 7)$ .

$\frac{405 (- (x) - 1 (- 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{405 (- (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.8

Réécrivez $- (x - 7)$ comme $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{405 (- 1 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 2.8.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \frac{(405 (x - 7)) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $- \frac{405}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{405 (x - 7) (x - 2)}{4 {(x + 3)}^{5}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$ .

$- \frac{405}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{5}}]$

Étape 3.2

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{({(x + 3)}^{5})}^{2}}$

Étape 3.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 3)}^{5})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{5 \cdot 2}}$

Étape 3.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [(x - 7) (x - 2)] - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 7$ et $g (x) = x - 2$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} ((x - 7) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.4.2

Multipliez $x - 7$ par $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 7]) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 7])) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.7

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) (1 + 0)) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + (x - 2) \cdot 1) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.8.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (x - 7 + x - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 7 - 2) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.5.8.4

Soustrayez $2$ de $- 7$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = x + 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - (x - 7) (x - 2) (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.7

Simplifiez en factorisant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.7.2

Factorisez ${(x + 3)}^{4}$ à partir de ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.2.1

Factorisez ${(x + 3)}^{4}$ à partir de ${(x + 3)}^{5} (2 x - 9)$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) - 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.7.2.2

Factorisez ${(x + 3)}^{4}$ à partir de $- 5 (x - 7) (x - 2) ({(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3])$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.7.2.3

Factorisez ${(x + 3)}^{4}$ à partir de ${(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9)) + {(x + 3)}^{4} (- 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{10}}$

Étape 3.8

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.8.1

Factorisez ${(x + 3)}^{4}$ à partir de ${(x + 3)}^{10}$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.8.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{{(x + 3)}^{4} ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3]))}{{(x + 3)}^{4} {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.8.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x + 3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.11

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.12

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2) \cdot 1}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.12.2

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- \frac{405}{4} \cdot \frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.12.3

Multipliez $\frac{(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)}{{(x + 3)}^{6}}$ par $\frac{405}{4}$ .

$- \frac{((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)) \cdot 405}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

Étape 3.12.4

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.12.4.1

Déplacez $405$ à gauche de $(x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2)$ .

$- \frac{405 \cdot ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{{(x + 3)}^{6} \cdot 4}$

Étape 3.12.4.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(x + 3)}^{6}$ .

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) - 5 (x - 7) (x - 2))}{4 \cdot {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9) + (- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 ((x + 3) (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.1

Développez $(x + 3) (2 x - 9)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 (x (2 x - 9) + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x - 9)) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 (x (2 x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{405 (2 x \cdot x + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{405 (2 (x \cdot x) + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} + x \cdot - 9 + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.3

Déplacez $- 9$ à gauche de $x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 \cdot x + 3 (2 x) + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x + 3 \cdot - 9) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.1.5

Multipliez $3$ par $- 9$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 9 x + 6 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.2.2

Additionnez $- 9 x$ et $6 x$ .

$- \frac{405 (2 x^{2} - 3 x - 27) + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{405 (2 x^{2}) + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.4.1

Multipliez $2$ par $405$ .

$- \frac{810 x^{2} + 405 (- 3 x) + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x + 405 \cdot - 27 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.4.3

Multipliez $405$ par $- 27$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x - 5 \cdot - 7) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 7$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 ((- 5 x + 35) (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.6

Développez $(- 5 x + 35) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x (x - 2) + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 (x - 2))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x \cdot x - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.7.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.7.1.1.1

Déplacez $x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 (x \cdot x) - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.7.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} - 5 x \cdot - 2 + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x + 35 \cdot - 2)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.7.1.3

Multipliez $35$ par $- 2$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 10 x + 35 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.7.2

Additionnez $10 x$ et $35 x$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2} + 45 x - 70)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 + 405 (- 5 x^{2}) + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.3.1.9.1

Multipliez $- 5$ par $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 405 (45 x) + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.9.2

Multipliez $45$ par $405$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x + 405 \cdot - 70}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.1.9.3

Multipliez $405$ par $- 70$ .

$- \frac{810 x^{2} - 1215 x - 10935 - 2025 x^{2} + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.2

Soustrayez $2025 x^{2}$ de $810 x^{2}$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} - 1215 x - 10935 + 18225 x - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.3

Additionnez $- 1215 x$ et $18225 x$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 10935 - 28350}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.3.4

Soustrayez $28350$ de $- 10935$ .

$- \frac{- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.4

Factorisez $405$ à partir de $- 1215 x^{2} + 17010 x - 39285$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.13.4.1

Factorisez $405$ à partir de $- 1215 x^{2}$ .

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 17010 x - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.4.2

Factorisez $405$ à partir de $17010 x$ .

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) - 39285}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.4.3

Factorisez $405$ à partir de $- 39285$ .

$- \frac{405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.4.4

Factorisez $405$ à partir de $405 (- 3 x^{2}) + 405 (42 x)$ .

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.4.5

Factorisez $405$ à partir de $405 (- 3 x^{2} + 42 x) + 405 (- 97)$ .

$- \frac{405 (- 3 x^{2} + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) + 42 x - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.6

Factorisez $- 1$ à partir de $42 x$ .

$- \frac{405 (- (3 x^{2}) - (- 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 42 x)$ .

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.8

Réécrivez $- 97$ comme $- 1 (97)$ .

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 42 x) - 1 (97)$ .

$- \frac{405 (- (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.10

Réécrivez $- (3 x^{2} - 42 x + 97)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97)$ .

$- \frac{405 (- 1 (3 x^{2} - 42 x + 97))}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 3.13.13

Multipliez $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ par $1$ .

$f''' (x) = \frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$

Étape 4

La dérivée troisième de $s (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$ .

$\frac{405 (3 x^{2} - 42 x + 97)}{4 {(x + 3)}^{6}}$