Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{4 x} \sin (3 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{4 x}$ et $g (x) = \sin (3 x)$ .

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$e^{4 x} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{4 x} (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$e^{4 x} (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 1.5

Différenciez.

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Étape 1.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 1.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 1.5.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 \cdot e^{4 x})$

Étape 1.5.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3 e^{4 x} \cos (3 x) + 4 e^{4 x} \sin (3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 e^{4 x} \cos (3 x) + 4 e^{4 x} \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x} \cos (3 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 e^{4 x} \cos (3 x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (3 x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \cos (3 x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.2

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)] + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.3.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 (e^{4 x} (- \sin (3 x) \cdot 3) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.10

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.2.12

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{4 x} \sin (3 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (3 x)]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} \sin (3 x)]$

Étape 2.3.2

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\cos (u_{3})$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $3 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [e^{4 x}])$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 2.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ est $a^{u_{4}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 2.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $4 x$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Étape 2.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Étape 2.3.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (\cos (3 x) \cdot 3) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Étape 2.3.10

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 x)$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cdot \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} (4 \cdot 1)))$

Étape 2.3.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (e^{4 x} \cdot 4))$

Étape 2.3.12

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x)) + \cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x)) + \sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 (e^{4 x} (- 3 \sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$- 9 (e^{4 x} (\sin (3 x))) + 3 (\cos (3 x) (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 (\cos (3 x) (e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} (3 \cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 \cos (3 x) e^{4 x} + 12 (e^{4 x} (\cos (3 x))) + 4 (\sin (3 x) (4 e^{4 x}))$

Étape 2.4.3.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 \cos (3 x) e^{4 x} + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 (\sin (3 x) (e^{4 x}))$

Étape 2.4.3.5

Additionnez $12 \cos (3 x) e^{4 x}$ et $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

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Étape 2.4.3.5.1

Déplacez $\cos (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 12 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 \sin (3 x) e^{4 x}$

Étape 2.4.3.5.2

Additionnez $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ et $12 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x) + 16 \sin (3 x) e^{4 x}$

Étape 2.4.3.6

Additionnez $- 9 e^{4 x} \sin (3 x)$ et $16 \sin (3 x) e^{4 x}$ .

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Étape 2.4.3.6.1

Déplacez $\sin (3 x)$ .

$- 9 e^{4 x} \sin (3 x) + 16 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$

Étape 2.4.3.6.2

Additionnez $- 9 e^{4 x} \sin (3 x)$ et $16 e^{4 x} \sin (3 x)$ .

$f'' (x) = 7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$ .

$7 e^{4 x} \sin (3 x) + 24 e^{4 x} \cos (3 x)$