Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{63}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{63}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.2

Comme $63$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{63}{x^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $63 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$63 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$63 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

Étape 1.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.6

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

Étape 1.8.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$63 (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

Étape 1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$63 (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

Étape 1.10

Associez $x^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$63 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Étape 1.11

Multipliez $- 1$ par $63$ .

$- 63 \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 1.12

Associez $- 63$ et $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ .

$\frac{- 63 x^{- \frac{4}{3}}}{3}$

Étape 1.13

Placez $x^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 63}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.14

Factorisez $3$ à partir de $- 63$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.15

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.15.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 21}{3 (x^{\frac{4}{3}})}$

Étape 1.15.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 21}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.15.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 21}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 1.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{21}{x^{\frac{4}{3}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 21$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{21}{x^{\frac{4}{3}}}$ par rapport à $x$ est $- 21 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ comme ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 1$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 4}{3}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 21 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{4}{3}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $3$ de $- 4$ .

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 21 (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{7}{3}}$ et $\frac{4}{3}$ .

$- 21 (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Étape 2.10

Multipliez $- 1$ par $- 21$ .

$21 \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$

Étape 2.11

Associez $21$ et $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$\frac{21 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3}$

Étape 2.12

Multipliez.

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Étape 2.12.1

Multipliez $4$ par $21$ .

$\frac{84 x^{- \frac{7}{3}}}{3}$

Étape 2.12.2

Placez $x^{- \frac{7}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{84}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2.13

Factorisez $3$ à partir de $84$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 28}{3 (x^{\frac{7}{3}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 28}{3 x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$ .

$\frac{28}{x^{\frac{7}{3}}}$