Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$2 x + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 x + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + \cos (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 2 x + 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$2 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$2 + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$2 + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f'' (x) = 2 - 4 \sin (2 x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 - 4 \sin (2 x)$ .

$2 - 4 \sin (2 x)$