Calcul infinitésimal Exemples

$f (t) = \frac{7 \ln (t)}{t}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{7 \ln (t)}{t}$ par rapport à $t$ est $7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{t}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t$ .

$7 \frac{t \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 1.3

La dérivée de $\ln (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{t \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.4.1

Associez $t$ et $\frac{1}{t}$ .

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{\frac{t}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$7 \frac{1 - \ln (t) \frac{d}{d t} [t]}{t^{2}}$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t) \cdot 1}{t^{2}}$

Étape 1.4.4

Associez les fractions.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$7 \frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$

Étape 1.4.4.2

Associez $7$ et $\frac{1 - \ln (t)}{t^{2}}$ .

$\frac{7 (1 - \ln (t))}{t^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 \cdot 1 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7 + 7 (- \ln (t))}{t^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $7 (- \ln (t))$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$\frac{7 - 7 \ln (t)}{t^{2}}$

Étape 1.5.2.2.2

Simplifiez $- 7 \ln (t)$ en déplaçant $7$ dans le logarithme.

$f' (t) = \frac{7 - \ln (t^{7})}{t^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{{(t^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [7 - \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 - \ln (t^{7})$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (\frac{d}{d t} [7] + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7$ par rapport à $t$ est $0$ .

$\frac{t^{2} (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} \frac{d}{d t} [- \ln (t^{7})] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- \ln (t^{7})$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]$ .

$\frac{t^{2} (- \frac{d}{d t} [\ln (t^{7})]) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \ln (t)$ et $g (t) = t^{7}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{7}$ .

$\frac{t^{2} (- (\frac{1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}])) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Associez $t^{2}$ et $\frac{1}{t^{7}}$ .

$\frac{- \frac{t^{2}}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $t^{2}$ et $t^{7}$ .

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Étape 2.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{7}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $t^{2}$ à partir de $t^{7}$ .

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{t^{2} \cdot 1}{t^{2} t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} \frac{d}{d t} [t^{7}] - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{- \frac{1}{t^{5}} (7 t^{6}) - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{- 7 \frac{1}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Associez $- 7$ et $\frac{1}{t^{5}}$ .

$\frac{\frac{- 7}{t^{5}} t^{6} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.3

Associez $\frac{- 7}{t^{5}}$ et $t^{6}$ .

$\frac{\frac{- 7 t^{6}}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.4

Annulez le facteur commun à $t^{6}$ et $t^{5}$ .

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Étape 2.4.4.4.1

Factorisez $t^{5}$ à partir de $- 7 t^{6}$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5}} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.4.4.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{t^{5} (- 7 t)}{t^{5} \cdot 1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{- 7 t}{1} - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.4.4.2.4

Divisez $- 7 t$ par $1$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) \frac{d}{d t} [t^{2}]}{t^{4}}$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{- 7 t - (7 - \ln (t^{7})) (2 t)}{t^{4}}$

Étape 2.4.6

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Étape 2.4.6.2

Factorisez $t$ à partir de $- 7 t - 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

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Étape 2.4.6.2.1

Factorisez $t$ à partir de $- 7 t$ .

$\frac{t \cdot - 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})) t}{t^{4}}$

Étape 2.4.6.2.2

Factorisez $t$ à partir de $- 2 (7 - \ln (t^{7})) t$ .

$\frac{t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Étape 2.4.6.2.3

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot - 7 + t (- 2 (7 - \ln (t^{7})))$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t^{4}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{4}$ .

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7})))}{t \cdot t^{3}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 7 - 2 (7 - \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 7 - 2 \cdot 7 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{- 7 - 14 - 2 (- \ln (t^{7}))}{t^{3}}$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $- 2 (- \ln (t^{7}))$ .

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Étape 2.6.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 7 - 14 + 2 \ln (t^{7})}{t^{3}}$

Étape 2.6.2.1.2.2

Simplifiez $2 \ln (t^{7})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\frac{- 7 - 14 + \ln ({(t^{7})}^{2})}{t^{3}}$

Étape 2.6.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(t^{7})}^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{7 \cdot 2})}{t^{3}}$

Étape 2.6.2.1.3.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$\frac{- 7 - 14 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Étape 2.6.2.2

Soustrayez $14$ de $- 7$ .

$\frac{- 21 + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 21$ comme $- 1 (21)$ .

$\frac{- 1 (21) + \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (t^{14})$ .

$\frac{- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Étape 2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (21) - 1 (- \ln (t^{14}))$ .

$\frac{- 1 (21 - \ln (t^{14}))}{t^{3}}$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (t) = - \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$ .

$- \frac{21 - \ln (t^{14})}{t^{3}}$