Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{2 x - 9}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x - 9}$ comme ${(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x - 9$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.7.3

Placez ${(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Étape 1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Étape 1.13.2

Associez $\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.13.4

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 2.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = 2 x - 9$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x - 9$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.7.2

Associez ${(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.7.3

Placez ${(2 x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Étape 2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 2.12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (2 + 0)$

Étape 2.13

Simplifiez les termes.

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Étape 2.13.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 2$

Étape 2.13.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.13.3

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}})}$

Étape 2.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{{(2 x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$