Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 + x + x^{2} + \ln (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x + x^{2} + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$0 + 1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$1 + 2 x + \frac{1}{x}$

Étape 1.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 2 x + \frac{1}{x} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + \frac{1}{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 - x^{- 2} + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $2 - \frac{1}{x^{2}}$ et $0$ .

$2 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + 2$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 2$