Calcul infinitésimal Exemples

$P (t) = \frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $1000$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{1000 e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}$ par rapport à $t$ est $1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$ .

$1000 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{19 + e^{0.12 t}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = e^{0.12 t}$ et $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 0.12 t$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $0.12 t$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Comme $0.12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.12 t$ par rapport à $t$ est $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $0.12$ par $1$ .

$1000 \frac{(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Déplacez $0.12$ à gauche de $(19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}$ .

$1000 \frac{0.12 \cdot ((19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $19 + e^{0.12 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.5

Comme $19$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $19$ par rapport à $t$ est $0$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.4.6

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 0.12 t$ .

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Étape 1.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.12 t + 0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $0.12 t$ et $0.12 t$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.8

Comme $0.12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.12 t$ par rapport à $t$ est $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - e^{0.24 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.9

Multipliez $0.12$ par $- 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \frac{d}{d t} [t]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t} \cdot 1}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.11

Associez les fractions.

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Étape 1.11.1

Multipliez $- 0.12$ par $1$ .

$1000 \frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.11.2

Associez $1000$ et $\frac{0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ .

$\frac{1000 (0.12 (19 + e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1000 ((0.12 \cdot 19 + 0.12 e^{0.12 t}) e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t} - 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1000 (0.12 \cdot 19 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.4.1.1

Multipliez $0.12$ par $19$ .

$\frac{1000 (2.28 e^{0.12 t}) + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.2

Multipliez $2.28$ par $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.3

Multipliez $e^{0.12 t}$ par $e^{0.12 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.4.1.3.1

Déplacez $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 (e^{0.12 t} e^{0.12 t})) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.12 t + 0.12 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.3.3

Additionnez $0.12 t$ et $0.12 t$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 1000 (0.12 e^{0.24 t}) + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.4

Multipliez $0.12$ par $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} + 1000 (- 0.12 e^{0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.1.5

Multipliez $- 0.12$ par $1000$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 120 e^{0.24 t} - 120 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.2

Soustrayez $120 e^{0.24 t}$ de $120 e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0 e^{0.24 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.3

Multipliez $0$ par $e^{0.24 t}$ .

$\frac{2280 e^{0.12 t} + 0}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 1.12.4.4

Additionnez $2280 e^{0.12 t}$ et $0$ .

$f' (t) = \frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2280$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2280 e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}$ par rapport à $t$ est $2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$ .

$2280 \frac{d}{d t} [\frac{e^{0.12 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2}}]$

Étape 2.2

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${({(19 + e^{0.12 t})}^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}] - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 0.12 t$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $0.12 t$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $0.12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.12 t$ par rapport à $t$ est $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \frac{d}{d t} [t]) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} (0.12 \cdot 1) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $0.12$ par $1$ .

$2280 \frac{{(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} \cdot 0.12 - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.5.3.2

Déplacez $0.12$ à gauche de ${(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 \cdot ({(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) - e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [{(19 + e^{0.12 t})}^{2}]}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = 19 + e^{0.12 t}$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - e^{0.12 t} (2 (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.7

Différenciez.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [19 + e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.7.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $19 + e^{0.12 t}$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d t} [19] + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.7.3

Comme $19$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $19$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0 + \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.7.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d t} [e^{0.12 t}]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [e^{0.12 t}])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 0.12 t$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.8.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) (e^{0.12 t} \frac{d}{d t} [0.12 t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.12 t + 0.12 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.10

Additionnez $0.12 t$ et $0.12 t$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [0.12 t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.11

Comme $0.12$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $0.12 t$ par rapport à $t$ est $0.12 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) (0.12 \frac{d}{d t} [t]))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Déplacez $0.12$ à gauche de $19 + e^{0.12 t}$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 2 e^{0.24 t} (0.12 \cdot (19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.12.2

Multipliez $0.12$ par $- 2$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \frac{d}{d t} [t])}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} ((19 + e^{0.12 t}) \cdot 1)}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.14

Associez les fractions.

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Étape 2.14.1

Multipliez $19 + e^{0.12 t}$ par $1$ .

$2280 \frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.14.2

Associez $2280$ et $\frac{0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} (19 + e^{0.12 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t} - 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19 - 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (0.12 {(19 + e^{0.12 t})}^{2} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.15.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.3.1.1

Réécrivez ${(19 + e^{0.12 t})}^{2}$ comme $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ .

$\frac{2280 (0.12 ((19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2

Développez $(19 + e^{0.12 t}) (19 + e^{0.12 t})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.15.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (0.12 (19 (19 + e^{0.12 t}) + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} (19 + e^{0.12 t})) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (0.12 (19 \cdot 19 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.15.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.15.3.1.3.1.1

Multipliez $19$ par $19$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t} \cdot 19 + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.2

Déplacez $19$ à gauche de $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 \cdot e^{0.12 t} + e^{0.12 t} e^{0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.3

Multipliez $e^{0.12 t}$ par $e^{0.12 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.3.1.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.12 t + 0.12 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.1.3.2

Additionnez $0.12 t$ et $0.12 t$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 19 e^{0.12 t} + 19 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.3.2

Additionnez $19 e^{0.12 t}$ et $19 e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (0.12 (361 + 38 e^{0.12 t} + e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 ((0.12 \cdot 361 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.5

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.5.1

Multipliez $0.12$ par $361$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 0.12 (38 e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.5.2

Multipliez $38$ par $0.12$ .

$\frac{2280 ((43.32 + 4.56 e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t}) e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t} e^{0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.7.1

Multipliez $e^{0.12 t}$ par $e^{0.12 t}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.15.3.1.7.1.1

Déplacez $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 (e^{0.12 t} e^{0.12 t}) + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.12 t + 0.12 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.1.3

Additionnez $0.12 t$ et $0.12 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.24 t} e^{0.12 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2

Multipliez $e^{0.24 t}$ par $e^{0.12 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.7.2.1

Déplacez $e^{0.12 t}$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 (e^{0.12 t} e^{0.24 t})) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.12 t + 0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.7.2.3

Additionnez $0.12 t$ et $0.24 t$ .

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t} + 4.56 e^{0.24 t} + 0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2280 (43.32 e^{0.12 t}) + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9

Simplifiez

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Étape 2.15.3.1.9.1

Multipliez $43.32$ par $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 2280 (4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9.2

Multipliez $4.56$ par $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (0.12 e^{0.36 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.9.3

Multipliez $0.12$ par $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} \cdot 19) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.10

Multipliez $19$ par $- 0.24$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 2280 (- 4.56 e^{0.24 t}) + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.11

Multipliez $- 4.56$ par $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.24 t} e^{0.12 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12

Multipliez $e^{0.24 t}$ par $e^{0.12 t}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.3.1.12.1

Déplacez $e^{0.12 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 (e^{0.12 t} e^{0.24 t}))}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.12 t + 0.24 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.12.3

Additionnez $0.12 t$ et $0.24 t$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} + 2280 (- 0.24 e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.1.13

Multipliez $- 0.24$ par $2280$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 10396.8 e^{0.24 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 10396.8 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.2

Soustrayez $10396.8 e^{0.24 t}$ de $10396.8 e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 e^{0.24 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.3

Multipliez $0$ par $e^{0.24 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} + 0 - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.4

Additionnez $98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t}$ et $0$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} + 273.6 e^{0.36 t} - 547.2 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.3.5

Soustrayez $547.2 e^{0.36 t}$ de $273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.4

Factorisez $273.6$ à partir de $98769.6 e^{0.12 t} - 273.6 e^{0.36 t}$ .

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Étape 2.15.4.1

Factorisez $273.6$ à partir de $98769.6 e^{0.12 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) - 273.6 e^{0.36 t}}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.4.2

Factorisez $273.6$ à partir de $- 273.6 e^{0.36 t}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 2.15.4.3

Factorisez $273.6$ à partir de $273.6 (361 e^{0.12 t}) + 273.6 (- e^{0.36 t})$ .

$f'' (t) = \frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $P (t)$ par rapport à $t$ est $\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$ .

$\frac{273.6 (361 e^{0.12 t} - e^{0.36 t})}{{(19 + e^{0.12 t})}^{4}}$