Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} \sin (x) - 3 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x} \cos (x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} - 3 (e^{x} (- \sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x} + 3 (e^{x} (\sin (x))) - 3 (\cos (x) e^{x})$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $\sin (x) e^{x}$ et $3 e^{x} \sin (x)$ .

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Étape 1.4.2.2.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x) + 3 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $e^{x} \sin (x)$ et $3 e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x) - 3 \cos (x) e^{x}$

Étape 1.4.2.3

Soustrayez $3 \cos (x) e^{x}$ de $e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 1.4.2.3.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$e^{x} \cos (x) - 3 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Étape 1.4.2.3.2

Soustrayez $3 e^{x} \cos (x)$ de $e^{x} \cos (x)$ .

$f' (x) = - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x} \cos (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2.2

$- 2 (e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{x} \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$

Étape 2.3.2

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x})$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 (e^{x} (- \sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 (e^{x} (\sin (x))) - 2 (\cos (x) e^{x}) + 4 (e^{x} \cos (x)) + 4 (\sin (x) e^{x})$

Étape 2.4.3.2

Additionnez $- 2 \cos (x) e^{x}$ et $4 e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Déplacez $\cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) - 2 e^{x} \cos (x) + 4 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Étape 2.4.3.2.2

Additionnez $- 2 e^{x} \cos (x)$ et $4 e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x) + 4 \sin (x) e^{x}$

Étape 2.4.3.3

Additionnez $2 e^{x} \sin (x)$ et $4 \sin (x) e^{x}$ .

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Étape 2.4.3.3.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$2 e^{x} \sin (x) + 4 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Étape 2.4.3.3.2

Additionnez $2 e^{x} \sin (x)$ et $4 e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = 6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$ .

$6 e^{x} \sin (x) + 2 e^{x} \cos (x)$