Calcul infinitésimal Exemples

$V (r) = k (13 r^{2} - r^{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $k (13 r^{2} - r^{3})$ par rapport à $r$ est $k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$ .

$k \frac{d}{d r} [13 r^{2} - r^{3}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13 r^{2} - r^{3}$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}]$ .

$k (\frac{d}{d r} [13 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.3

Comme $13$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $13 r^{2}$ par rapport à $r$ est $13 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$k (13 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$k (13 (2 r) + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.5

Multipliez $2$ par $13$ .

$k (26 r + \frac{d}{d r} [- r^{3}])$

Étape 1.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- r^{3}$ par rapport à $r$ est $- \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$k (26 r - \frac{d}{d r} [r^{3}])$

Étape 1.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$k (26 r - (3 r^{2}))$

Étape 1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$k (26 r - 3 r^{2})$

Étape 1.9

Simplifiez

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Étape 1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$k (26 r) + k (- 3 r^{2})$

Étape 1.9.2

Déplacez $26$ à gauche de $k$ .

$26 k r + k (- 3 r^{2})$

Étape 1.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (r) = 26 k r - 3 r^{2} k$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $26 k r - 3 r^{2} k$ par rapport à $r$ est $\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

$\frac{d}{d r} [26 k r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d r} [26 k r]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $26 k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $26 k r$ par rapport à $r$ est $26 k \frac{d}{d r} [r]$ .

$26 k \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$26 k \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Étape 2.2.3

Multipliez $26$ par $1$ .

$26 k + \frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d r} [- 3 r^{2} k]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3 k$ est constant par rapport à $r$ , la dérivée de $- 3 r^{2} k$ par rapport à $r$ est $- 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$26 k - 3 k \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ est $n r^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$26 k - 3 k (2 r)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$26 k - 6 k r$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (r) = - 6 k r + 26 k$

Étape 3

La dérivée seconde de $V (r)$ par rapport à $r$ est $- 6 k r + 26 k$ .

$- 6 k r + 26 k$