Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1 - 8 x}{8 - 6 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1 - 8 x$ et $g (x) = 8 - 6 x$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [1 - 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 8 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(8 - 6 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) \frac{d}{d x} [- 8 x] - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(8 - 6 x) (- 8 \cdot 1) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$\frac{(8 - 6 x) \cdot - 8 - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.6.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $8 - 6 x$ .

$\frac{- 8 \cdot (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [8 - 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 - 6 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [- 6 x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.10

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) - (1 - 8 x) (- 6 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.11

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x) \cdot 1}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.2.13

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{- 8 (8 - 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 (1 - 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 8 \cdot 8 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.3.1.1

Multipliez $- 8$ par $8$ .

$\frac{- 64 - 8 (- 6 x) + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $- 8$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 \cdot 1 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 + 6 (- 8 x)}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.1.4

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$\frac{- 64 + 48 x + 6 - 48 x}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les termes opposés dans $- 64 + 48 x + 6 - 48 x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Soustrayez $48 x$ de $48 x$ .

$\frac{- 64 + 0 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.2.2

Additionnez $- 64$ et $0$ .

$\frac{- 64 + 6}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Additionnez $- 64$ et $6$ .

$\frac{- 58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{58}{{(8 - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8 - 6 x$ .

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Étape 1.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) - 6 x)}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$- \frac{58}{{(2 (4) + 2 (- 3 x))}^{2}}$

Étape 1.3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4) + 2 (- 3 x)$ .

$- \frac{58}{{(2 (4 - 3 x))}^{2}}$

Étape 1.3.5.2

Appliquez la règle de produit à $2 (4 - 3 x)$ .

$- \frac{58}{2^{2} {(4 - 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.5.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{58}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $58$ et $4$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$- \frac{2 (29)}{4 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(4 - 3 x)}^{2}$ .

$- \frac{2 (29)}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 29}{2 (2 {(4 - 3 x)}^{2})}$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.1.1

Comme $- \frac{29}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{29}{2 {(4 - 3 x)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ comme ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(4 - 3 x)}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{29}{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 3 x)}^{- 2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = 4 - 3 x$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - 3 x$ .

$- \frac{29}{2} (- 2 {(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{29}{2}) ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{29}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $29$ .

$\frac{58}{2} ({(4 - 3 x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 - 3 x])$

Étape 2.3.2.3

Associez ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ et $\frac{58}{2}$ .

$\frac{{(4 - 3 x)}^{- 3} \cdot 58}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.4.1

Déplacez $58$ à gauche de ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ .

$\frac{58 \cdot {(4 - 3 x)}^{- 3}}{2} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.4.2

Placez ${(4 - 3 x)}^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{58}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.5

Annulez le facteur commun à $58$ et $2$ .

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Étape 2.3.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $58$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 - 3 x)}^{3}$ .

$\frac{2 \cdot 29}{2 ({(4 - 3 x)}^{3})} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 29}{2 {(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Étape 2.3.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.7

Associez les fractions.

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Étape 2.3.7.1

Associez $- 3$ et $\frac{29}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$\frac{- 3 \cdot 29}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 3$ par $29$ .

$\frac{- 87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}} \cdot 1$

Étape 2.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = - \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$ .

$- \frac{87}{{(4 - 3 x)}^{3}}$