Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{3} - 1)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 1$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 {(x^{3} - 1)}^{2} (3 x^{2})$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $9 {(x^{3} - 1)}^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = 9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} {(x^{3} - 1)}^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = {(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 1)}^{2}] + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{3} - 1$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 1$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1]) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$9 (x^{2} (2 (x^{3} - 1) (3 x^{2})) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$9 (x^{2} (6 (x^{3} - 1) x^{2}) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$9 (x^{2} x^{2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (x^{2 + 2} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.5.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + {(x^{3} - 1)}^{2} (2 x))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{3} - 1)}^{2}$ .

$9 (x^{4} (6 (x^{3} - 1)) + 2 \cdot {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (x^{4} (6 x^{3} + 6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 (x^{4} (6 x^{3}) + x^{4} (6 \cdot - 1) + 2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 (x^{4} (6 x^{3})) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4

Associez des termes.

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Étape 2.8.4.1

Multipliez $x^{4}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.4.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$9 (x^{3} x^{4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 (x^{3 + 4} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$9 (x^{7} \cdot 6) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.2

Déplacez $6$ à gauche de $x^{7}$ .

$9 (6 \cdot x^{7}) + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.3

Multipliez $6$ par $9$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} (6 \cdot - 1)) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.4

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$54 x^{7} + 9 (x^{4} \cdot - 6) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.5

Déplacez $- 6$ à gauche de $x^{4}$ .

$54 x^{7} + 9 (- 6 \cdot x^{4}) + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.6

Multipliez $- 6$ par $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 9 (2 {(x^{3} - 1)}^{2} x)$

Étape 2.8.4.7

Multipliez $2$ par $9$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 {(x^{3} - 1)}^{2} x$

Étape 2.8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x {(x^{3} - 1)}^{2}$

Étape 2.8.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.6.1

Réécrivez ${(x^{3} - 1)}^{2}$ comme $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x ((x^{3} - 1) (x^{3} - 1))$

Étape 2.8.6.2

Développez $(x^{3} - 1) (x^{3} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} (x^{3} - 1) - 1 (x^{3} - 1))$

Étape 2.8.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 (x^{3} - 1))$

Étape 2.8.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3} x^{3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.8.6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.6.3.1.1

Multipliez $x^{3}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.6.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{3 + 3} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3.1.1.2

Additionnez $3$ et $3$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} + x^{3} \cdot - 1 - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 1 \cdot x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3.1.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - 1 x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3.1.4

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.8.6.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - x^{3} - x^{3} + 1)$

Étape 2.8.6.3.2

Soustrayez $x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x (x^{6} - 2 x^{3} + 1)$

Étape 2.8.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x \cdot x^{6} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5

Simplifiez

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Étape 2.8.6.5.1

Multipliez $x$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.6.5.1.1

Déplacez $x^{6}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5.1.2

Multipliez $x^{6}$ par $x$ .

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Étape 2.8.6.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 (x^{6} x^{1}) + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{6 + 1} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5.1.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 x (- 2 x^{3}) + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x \cdot 1$

Étape 2.8.6.5.3

Multipliez $18$ par $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x \cdot x^{3} + 18 x$

Étape 2.8.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.6.6.1

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.6.6.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x) + 18 x$

Étape 2.8.6.6.1.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 2.8.6.6.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 (x^{3} x^{1}) + 18 x$

Étape 2.8.6.6.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{3 + 1} + 18 x$

Étape 2.8.6.6.1.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} + 18 \cdot - 2 x^{4} + 18 x$

Étape 2.8.6.6.2

Multipliez $18$ par $- 2$ .

$54 x^{7} - 54 x^{4} + 18 x^{7} - 36 x^{4} + 18 x$

Étape 2.8.7

Additionnez $54 x^{7}$ et $18 x^{7}$ .

$72 x^{7} - 54 x^{4} - 36 x^{4} + 18 x$

Étape 2.8.8

Soustrayez $36 x^{4}$ de $- 54 x^{4}$ .

$f'' (x) = 72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$ .

$72 x^{7} - 90 x^{4} + 18 x$