Calcul infinitésimal Exemples

$f (x, y) = 9 x^{3} y + x y^{5}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{3} y + x y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [9 x^{3} y]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $9 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $9 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$9 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$27 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x y^{5}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y^{5}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{5}$ par rapport à $x$ est $y^{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 y x^{2} + y^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$27 y x^{2} + y^{5} \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $y^{5}$ par $1$ .

$27 y x^{2} + y^{5}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = y^{5} + 27 x^{2} y$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{5} + 27 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$

Étape 2.1.2

Comme $y^{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{5}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [27 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $27 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $27 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $27 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 27 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 27 y (2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $27$ .

$0 + 54 y x$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Additionnez $0$ et $54 y x$ .

$54 y x$

Étape 2.3.2

Réorganisez les facteurs de $54 y x$ .

$f'' (x) = 54 x y$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $54 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54 x y$ par rapport à $x$ est $54 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$54 y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$54 y \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $54$ par $1$ .

$f''' (x) = 54 y$