Calcul infinitésimal Exemples

$y = 11 \csc (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 \csc (x)$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Étape 1.2

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (- \csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 (\csc (x) \cot (x))$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- 11 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = - 11 \cot (x) \csc (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 11 \cot (x) \csc (x)$ par rapport à $x$ est $- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$- 11 (\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 11 (\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.4

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.5

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$- 11 (- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 11 (- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Étape 2.8

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x)))$

Étape 2.9

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2})$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x))$

Étape 2.12

Simplifiez

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Étape 2.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 11 (- \csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2

Associez des termes.

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Étape 2.12.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$11 (\csc (x) \cot^{2} (x)) - 11 (- \csc^{3} (x))$

Étape 2.12.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 11$ .

$11 \csc (x) \cot^{2} (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Étape 2.12.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $11 \cot^{2} (x) \csc (x) + 11 \csc^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 \cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 \cot^{2} (x) \csc (x)$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)]$ .

$11 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc (x)] + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cot^{2} (x)$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cot (x)$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cot (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.5

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$11 (\cot^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.6

Multipliez $\cot^{2} (x)$ par $\cot (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez $\cot (x)$ .

$11 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $\cot (x)$ par $\cot^{2} (x)$ .

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Étape 3.2.6.2.1

Élevez $\cot (x)$ à la puissance $1$ .

$11 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$11 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) + \csc (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.8

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) {\csc (x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.2.10

Additionnez $1$ et $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + \frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [11 \csc^{3} (x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 \csc^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 \frac{d}{d x} [\csc^{3} (x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\csc (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (3 \csc^{2} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.3.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{2} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Étape 3.3.5

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) \cot (x))$

Étape 3.3.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 {\csc (x)}^{1 + 2} \cot (x))$

Étape 3.3.7

Additionnez $1$ et $2$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) + 11 (- 3 \csc^{3} (x) \cot (x))$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 3$ par $11$ .

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x)) - 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$11 (\cot^{3} (x) (- \csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $11$ .

$- 11 (\cot^{3} (x) (\csc (x))) + 11 (- 2 \cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 2$ par $11$ .

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 (\cot (x) \csc^{3} (x)) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Étape 3.4.2.3

Réorganisez les facteurs de $- 22 \cot (x) \csc^{3} (x)$ .

$- 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 22 \csc^{3} (x) \cot (x) - 33 \csc^{3} (x) \cot (x)$

Étape 3.4.2.4

Soustrayez $33 \csc^{3} (x) \cot (x)$ de $- 22 \csc^{3} (x) \cot (x)$ .

$f''' (x) = - 11 \cot^{3} (x) \csc (x) - 55 \csc^{3} (x) \cot (x)$