Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \cos (x) + {(x + 2)}^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 3 \sin (x) + 4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 3 \sin (x) + 4 {(x + 2)}^{3}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 {(x + 2)}^{3} - 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 {(x + 2)}^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x + 2$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $3$ par $1$ .

$4 (3 {(x + 2)}^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.2.8

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 {(x + 2)}^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$12 {(x + 2)}^{2} - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 12 {(x + 2)}^{2} - 3 \cos (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [12 ((x + 2) (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.2

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [12 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [12 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 (x^{2} + 4 x + 4) - 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 (x^{2} + 4 x + 4)]$ .

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Étape 3.5.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 (x^{2} + 4 x + 4)$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$12 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$12 (2 x + 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (2 x + 4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.5.8

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$12 (2 x + 4) + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$

Étape 3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \cos (x)]$ .

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Étape 3.6.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$12 (2 x + 4) - 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 3.6.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$12 (2 x + 4) - 3 (- \sin (x))$

Étape 3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$12 (2 x + 4) + 3 \sin (x)$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (2 x) + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Étape 3.7.2

Associez des termes.

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Étape 3.7.2.1

Multipliez $2$ par $12$ .

$24 x + 12 \cdot 4 + 3 \sin (x)$

Étape 3.7.2.2

Multipliez $12$ par $4$ .

$f''' (x) = 24 x + 48 + 3 \sin (x)$