Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sec (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sec (u)$ par rapport à $u$ est $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)$

Étape 1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2$

Étape 1.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$f' (x) = 2 \sec (2 x) \tan (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sec (2 x) \tan (2 x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (2 x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

$2 (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$2 (\sec (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.4

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{2} (2 x) \sec^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 ({\sec (2 x)}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.6

Différenciez.

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Étape 2.6.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) (2 \cdot 1) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.6.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.4.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (\sec^{3} (2 x) \cdot 2 + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.6.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{3} (2 x)$ .

$2 (2 \cdot \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.7.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.8

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 2.12

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.14.2

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ .

$2 (2 \sec^{3} (2 x) + 2 \cdot (\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)))$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 \sec^{3} (2 x)) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Étape 2.15.2

Associez des termes.

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Étape 2.15.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 2 (2 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x))$

Étape 2.15.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sec^{3} (2 x) + 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$

Étape 2.15.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = 4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) + 4 \sec^{3} (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \tan^{2} (2 x) \sec (2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x) \sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.3.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) \frac{d}{d x} [\tan^{2} (2 x)]) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Étape 3.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)])) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\tan (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.7.2

La dérivée de $\tan (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec^{2} (u_{3})$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.11

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (\tan^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.12

Multipliez $\tan^{2} (2 x)$ par $\tan (2 x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.12.1

Déplacez $\tan (2 x)$ .

$4 (\tan (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $\tan (2 x)$ par $\tan^{2} (2 x)$ .

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Étape 3.2.12.2.1

Élevez $\tan (2 x)$ à la puissance $1$ .

$4 (\tan^{1} (2 x) \tan^{2} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.12.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 ({\tan (2 x)}^{1 + 2} (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.12.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (\tan^{3} (2 x) (2 \sec (2 x)) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.13

Déplacez $2$ à gauche de $\tan^{3} (2 x)$ .

$4 (2 \cdot \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.14

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (\sec^{2} (2 x) \cdot 2))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.15

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (2 \tan (2 x) (2 \cdot \sec^{2} (2 x)))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.16

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + \sec (2 x) (4 \tan (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.17

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) {\sec (2 x)}^{1 + 2}) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.2.19

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 \sec^{3} (2 x)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sec^{3} (2 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\sec^{3} (2 x)]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sec (2 x)$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ est $n {u_{4}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 {u_{4}}^{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $\sec (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [\sec (2 x)])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\frac{d}{d u_{5}} [\sec (u_{5})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sec (u_{5})$ par rapport à $u_{5}$ est $\sec (u_{5}) \tan (u_{5})$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (u_{5}) \tan (u_{5}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $2 x$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Étape 3.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1)))$

Étape 3.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2))$

Étape 3.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (3 \sec^{2} (2 x) (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x))))$

Étape 3.3.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{2} (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)))$

Étape 3.3.9

Élevez $\sec (2 x)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 (\sec^{1} (2 x) \sec^{2} (2 x)) \tan (2 x))$

Étape 3.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 {\sec (2 x)}^{1 + 2} \tan (2 x))$

Étape 3.3.11

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 4 (6 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x))$

Étape 3.3.12

Multipliez $6$ par $4$ .

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 (\tan^{3} (2 x) \sec (2 x)) + 4 (4 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 (\tan (2 x) \sec^{3} (2 x)) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3.4.2.3

Réorganisez les facteurs de $16 \tan (2 x) \sec^{3} (2 x)$ .

$8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x) + 24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$

Étape 3.4.2.4

Additionnez $16 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ et $24 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$ .

$f''' (x) = 8 \tan^{3} (2 x) \sec (2 x) + 40 \sec^{3} (2 x) \tan (2 x)$