Calcul infinitésimal Exemples

$w = (\frac{1 + 15 z}{5 z}) (15 - z)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ est $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ où $f (z) = \frac{1 + 15 z}{5 z}$ et $g (z) = 15 - z$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [15 - z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 - z$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (\frac{d}{d z} [15] + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.2

Comme $15$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $15$ par rapport à $z$ est $0$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [- z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \frac{d}{d z} [- z] + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- \frac{d}{d z} [z]) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} (- 1 \cdot 1) + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.6

Associez les fractions.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 + 15 z}{5 z} \cdot - 1 + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.6.2

Associez $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ et $- 1$ .

$\frac{(1 + 15 z) \cdot - 1}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.6.3.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $1 + 15 z$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.6.3.2

Réécrivez $- 1 (1 + 15 z)$ comme $- (1 + 15 z)$ .

$\frac{- (1 + 15 z)}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.6.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{5 z}]$

Étape 1.2.7

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{1 + 15 z}{5 z}$ par rapport à $z$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) (\frac{1}{5} \frac{d}{d z} [\frac{1 + 15 z}{z}])$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ est $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ où $f (z) = 1 + 15 z$ et $g (z) = z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [1 + 15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 15 z$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (\frac{d}{d z} [1] + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (0 + \frac{d}{d z} [15 z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d z} [15 z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \frac{d}{d z} [15 z] - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.4

Comme $15$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $15 z$ par rapport à $z$ est $15 \frac{d}{d z} [z]$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \frac{d}{d z} [z]) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z (15 \cdot 1) - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.6.1

Multipliez $15$ par $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{z \cdot 15 - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.6.2

Déplacez $15$ à gauche de $z$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 \cdot z - (1 + 15 z) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Étape 1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z) \cdot 1}{z^{2}}$

Étape 1.4.8

Associez les fractions.

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Étape 1.4.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{1}{5} \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$

Étape 1.4.8.2

Multipliez $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2}}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z^{2} \cdot 5}$

Étape 1.4.8.3

Déplacez $5$ à gauche de $z^{2}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 \cdot z^{2}}$

Étape 1.5

Pour écrire $(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} \cdot \frac{5 z}{5 z}$

Étape 1.6

Associez $(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ et $\frac{5 z}{5 z}$ .

$- \frac{1 + 15 z}{5 z} + \frac{(15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Étape 1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}} (5 z)}{5 z}$

Étape 1.8

Associez $5$ et $\frac{15 z - (1 + 15 z)}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}} z}{5 z}$

Étape 1.9

Associez $z$ et $\frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z^{2}}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{5 z^{2}}}{5 z}$

Étape 1.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.10.1

Factorisez $z$ à partir de $5 z^{2}$ .

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Étape 1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{z (5 (15 z - (1 + 15 z)))}{z (5 z)}}{5 z}$

Étape 1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Étape 1.11

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.11.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{5 (15 z - (1 + 15 z))}{5 z}}{5 z}$

Étape 1.11.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (1 + 15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - (1 + 15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.12.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - (15 z) + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.2

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 \cdot 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.3.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - (15 z)}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.3.2

Multipliez $15$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{15 z - 1 - 15 z}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.3.3

Soustrayez $15 z$ de $15 z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{0 - 1}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.3.4

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - 15 z + (15 - z) (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 - 15 z + 15 (- \frac{1}{z}) - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.6

Multipliez $15 (- \frac{1}{z})$ .

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Étape 1.12.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$\frac{- 1 - 15 z - 15 \frac{1}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.6.2

Associez $- 15$ et $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z (- \frac{1}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.7

Annulez le facteur commun de $z$ .

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Étape 1.12.3.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{z}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - z \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.7.2

Factorisez $z$ à partir de $- z$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + z \cdot - 1 \frac{- 1}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} - 1 \cdot - 1}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 - 15 z + \frac{- 15}{z} + 1}{5 z}$

Étape 1.12.3.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1}{5 z}$

Étape 1.12.3.2

Associez les termes opposés dans $- 1 - 15 z - \frac{15}{z} + 1$ .

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Étape 1.12.3.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z} + 0}{5 z}$

Étape 1.12.3.2.2

Additionnez $- 15 z - \frac{15}{z}$ et $0$ .

$\frac{- 15 z - \frac{15}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.4

Annulez le facteur commun à $- 15 z - \frac{15}{z}$ et $5$ .

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Étape 1.12.4.1

Factorisez $5$ à partir de $- 15 z$ .

$\frac{5 (- 3 z) - \frac{15}{z}}{5 z}$

Étape 1.12.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- \frac{15}{z}$ .

$\frac{5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (- 3 z) + 5 (- \frac{3}{z})$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.12.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 z$ .

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 (z)}$

Étape 1.12.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 3 z - \frac{3}{z})}{5 z}$

Étape 1.12.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 z - \frac{3}{z}}{z}$

Étape 1.12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 z - \frac{3}{z}$ .

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Étape 1.12.5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 z$ .

$\frac{3 (- z) - \frac{3}{z}}{z}$

Étape 1.12.5.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- \frac{3}{z}$ .

$\frac{3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})}{z}$

Étape 1.12.5.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- z) + 3 (- \frac{1}{z})$ .

$\frac{3 (- z - \frac{1}{z})}{z}$

Étape 1.12.5.2

Pour écrire $- z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (- z \cdot \frac{z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Étape 1.12.5.3

Associez $- z$ et $\frac{z}{z}$ .

$\frac{3 (\frac{- z \cdot z}{z} - \frac{1}{z})}{z}$

Étape 1.12.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \frac{- z \cdot z - 1}{z}}{z}$

Étape 1.12.5.5

Multipliez $z$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.12.5.5.1

Déplacez $z$ .

$\frac{3 \frac{- (z \cdot z) - 1}{z}}{z}$

Étape 1.12.5.5.2

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{3 \frac{- z^{2} - 1}{z}}{z}$

Étape 1.12.6

Associez $3$ et $\frac{- z^{2} - 1}{z}$ .

$\frac{\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z}}{z}$

Étape 1.12.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z} \cdot \frac{1}{z}$

Étape 1.12.8

Associez.

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z \cdot z}$

Étape 1.12.9

Multipliez $z$ par $z$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Étape 1.12.10

Multipliez $3 (- z^{2} - 1)$ par $1$ .

$\frac{3 (- z^{2} - 1)}{z^{2}}$

Étape 1.12.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- z^{2}$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1)}{z^{2}}$

Étape 1.12.12

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2}) - 1 (1))}{z^{2}}$

Étape 1.12.13

Factorisez $- 1$ à partir de $- (z^{2}) - 1 (1)$ .

$\frac{3 (- (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Étape 1.12.14

Réécrivez $- (z^{2} + 1)$ comme $- 1 (z^{2} + 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (z^{2} + 1))}{z^{2}}$

Étape 1.12.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (z) = - \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- \frac{3 (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ par rapport à $z$ est $- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z^{2}}]$

Étape 2.2

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{{(z^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${(z^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 3 \frac{z^{2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z^{2} + 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- 3 \frac{z^{2} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.3.5

Additionnez $2 z$ et $0$ .

$- 3 \frac{z^{2} (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.4

Multipliez $z^{2}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $z$ .

$- 3 \frac{z \cdot z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.4.2

Multipliez $z$ par $z^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$- 3 \frac{z^{1} z^{2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 \frac{z^{1 + 2} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 3 \frac{z^{3} \cdot 2 - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $z^{3}$ .

$- 3 \frac{2 \cdot z^{3} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z^{2}]}{z^{4}}$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - (z^{2} + 1) (2 z)}{z^{4}}$

Étape 2.7

Associez les fractions.

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Étape 2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 3 \frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$

Étape 2.7.2

Associez $- 3$ et $\frac{2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z}{z^{4}}$ .

$\frac{- 3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Étape 2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 (z^{2} + 1) z)}{z^{4}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (2 z^{3} + (- 2 z^{2} - 2 \cdot 1) z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (2 z^{3} - 2 z^{2} z - 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{3 (2 z^{3}) + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.4.1.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{2} z) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.2

Multipliez $z^{2}$ par $z$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.8.4.1.2.1

Déplacez $z$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z \cdot z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.2.2

Multipliez $z$ par $z^{2}$ .

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Étape 2.8.4.1.2.2.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 (z^{1} z^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{6 z^{3} + 3 (- 2 z^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} + 3 (- 2 z)}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$- \frac{6 z^{3} - 6 z^{3} - 6 z}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.2

Soustrayez $6 z^{3}$ de $6 z^{3}$ .

$- \frac{0 - 6 z}{z^{4}}$

Étape 2.8.4.3

Soustrayez $6 z$ de $0$ .

$- \frac{- 6 z}{z^{4}}$

Étape 2.8.5

Associez des termes.

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Étape 2.8.5.1

Annulez le facteur commun à $z$ et $z^{4}$ .

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Étape 2.8.5.1.1

Factorisez $z$ à partir de $- 6 z$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z^{4}}$

Étape 2.8.5.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.8.5.1.2.1

Factorisez $z$ à partir de $z^{4}$ .

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Étape 2.8.5.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{z \cdot - 6}{z \cdot z^{3}}$

Étape 2.8.5.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{- 6}{z^{3}}$

Étape 2.8.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{6}{z^{3}}$

Étape 2.8.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{6}{z^{3}}$

Étape 2.8.5.4

Multipliez $\frac{6}{z^{3}}$ par $1$ .

$f'' (z) = \frac{6}{z^{3}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $\frac{6}{z^{3}}$ par rapport à $z$ est $6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$ .

$6 \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{3}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{z^{3}}$ comme ${(z^{3})}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d z} [{(z^{3})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(z^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{3 \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$6 \frac{d}{d z} [z^{- 3}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$6 (- 3 z^{- 4})$

Étape 3.4

Multipliez $- 3$ par $6$ .

$- 18 z^{- 4}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{z^{4}}$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Associez $- 18$ et $\frac{1}{z^{4}}$ .

$\frac{- 18}{z^{4}}$

Étape 3.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f''' (z) = - \frac{18}{z^{4}}$