Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{5}{6}}$ et $g (x) = x^{9} + x$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{9} + x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} u^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{9} + x$ .

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.3

Associez $- 1$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{5 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.5.2

Soustrayez $6$ de $5$ .

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{5}{6}$ et ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ .

$\frac{5 {(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.6.3

Placez ${(x^{9} + x)}^{- \frac{1}{6}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x]$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{9} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}} (9 x^{8} + 1)$ .

$(9 x^{8} + 1) \frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

Étape 1.10.2

Multipliez $9 x^{8} + 1$ par $\frac{5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ .

$\frac{(9 x^{8} + 1) \cdot 5}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

Étape 1.10.3

Déplacez $5$ à gauche de $9 x^{8} + 1$ .

$f' (x) = \frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{5}{6}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5 (9 x^{8} + 1)}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$ .

$\frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{9 x^{8} + 1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 9 x^{8} + 1$ et $g (x) = {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}}$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 (3)} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2}}$

Étape 2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} \frac{d}{d x} [9 x^{8} + 1] - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{8} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (\frac{d}{d x} [9 x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{8}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (9 (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.5

Multipliez $8$ par $9$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + \frac{d}{d x} [1]) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7} + 0) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.7.1

Additionnez $72 x^{7}$ et $0$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} (72 x^{7}) - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.3.7.2

Déplacez $72$ à gauche de ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 \cdot {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) \frac{d}{d x} [{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}]}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{6}}$ et $g (x) = x^{9} + x$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{9} + x$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{6}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} u^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{9} + x$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.6

Associez $- 1$ et $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.8.2

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{\frac{- 5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6} {(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.9.2

Associez $\frac{1}{6}$ et ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{{(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.9.3

Placez ${(x^{9} + x)}^{- \frac{5}{6}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{9} + x])}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{9} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + \frac{d}{d x} [x]))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - (9 x^{8} + 1) (\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} (9 x^{8} + 1))}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.13

Élevez $9 x^{8} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} (9 x^{8} + 1)) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.14

Élevez $9 x^{8} + 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - ({(9 x^{8} + 1)}^{1} {(9 x^{8} + 1)}^{1}) \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{1 + 1} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2} \frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.17

Associez $\frac{1}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ et ${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.18

Pour écrire $72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} \cdot \frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.19

Associez $72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7}$ et $\frac{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} - \frac{{(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{72 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}) - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.21

Multipliez $6$ par $72$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}} x^{7} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.22

Multipliez ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}$ par ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.22.1

Déplacez ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 ({(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{6}}) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.22.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6} + \frac{1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.22.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{5 + 1}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.22.4

Additionnez $5$ et $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{\frac{6}{6}} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.22.5

Divisez $6$ par $6$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.23

Simplifiez $432 {(x^{9} + x)}^{1} x^{7}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.24

Réécrivez $\frac{\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ comme un produit.

$\frac{5}{6} (\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}} \cdot \frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 2.25

Multipliez $\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}}$ par $\frac{1}{{(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}} {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2.26

Multipliez ${(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}}$ par ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.26.1

Déplacez ${(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 ({(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3}} {(x^{9} + x)}^{\frac{5}{6}})}$

Étape 2.26.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}}}$

Étape 2.26.3

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{6}}}$

Étape 2.26.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.26.4.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6}}}$

Étape 2.26.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}}}$

Étape 2.26.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{2 + 5}{6}}}$

Étape 2.26.6

Additionnez $2$ et $5$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.27

Multipliez $\frac{5}{6}$ par $\frac{432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2}}{6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$ .

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{6 (6 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}})}$

Étape 2.28

Multipliez $6$ par $6$ .

$\frac{5 (432 (x^{9} + x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29

Simplifiez

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Étape 2.29.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 ((432 x^{9} + 432 x) x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7} + 432 x \cdot x^{7} - {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (432 x^{9} x^{7}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.29.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.29.4.1.1

Multipliez $x^{9}$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.29.4.1.1.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\frac{5 (432 (x^{7} x^{9})) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 (432 x^{7 + 9}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.1.3

Additionnez $7$ et $9$ .

$\frac{5 (432 x^{16}) + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.2

Multipliez $432$ par $5$ .

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x \cdot x^{7}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.3

Multipliez $x$ par $x^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.29.4.1.3.1

Déplacez $x^{7}$ .

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x)) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.3.2

Multipliez $x^{7}$ par $x$ .

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Étape 2.29.4.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 (x^{7} x^{1})) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{7 + 1}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.3.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 5 (432 x^{8}) + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.4

Multipliez $432$ par $5$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- {(9 x^{8} + 1)}^{2})}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.5

Réécrivez ${(9 x^{8} + 1)}^{2}$ comme $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- ((9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.6

Développez $(9 x^{8} + 1) (9 x^{8} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.29.4.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8} + 1) + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8} + 1)))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 x^{8} (9 x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.29.4.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.29.4.1.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8} x^{8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.2

Multipliez $x^{8}$ par $x^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.29.4.1.7.1.2.1

Déplacez $x^{8}$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 (x^{8} x^{8}) + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{8 + 8} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.2.3

Additionnez $8$ et $8$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (9 \cdot 9 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.3

Multipliez $9$ par $9$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} \cdot 1 + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.4

Multipliez $9$ par $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 1 (9 x^{8}) + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.5

Multipliez $9 x^{8}$ par $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1 \cdot 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 9 x^{8} + 9 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.7.2

Additionnez $9 x^{8}$ et $9 x^{8}$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16} + 18 x^{8} + 1))}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- (81 x^{16}) - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.9

Simplifiez

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Étape 2.29.4.1.9.1

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - (18 x^{8}) - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.9.2

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1 \cdot 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.9.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16} - 18 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} + 5 (- 81 x^{16}) + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.11

Simplifiez

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Étape 2.29.4.1.11.1

Multipliez $- 81$ par $5$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} + 5 (- 18 x^{8}) + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.11.2

Multipliez $- 18$ par $5$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} + 5 \cdot - 1}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.1.11.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{2160 x^{16} + 2160 x^{8} - 405 x^{16} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.2

Soustrayez $405 x^{16}$ de $2160 x^{16}$ .

$\frac{1755 x^{16} + 2160 x^{8} - 90 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.4.3

Soustrayez $90 x^{8}$ de $2160 x^{8}$ .

$\frac{1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.5

Factorisez $5$ à partir de $1755 x^{16} + 2070 x^{8} - 5$ .

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Étape 2.29.5.1

Factorisez $5$ à partir de $1755 x^{16}$ .

$\frac{5 (351 x^{16}) + 2070 x^{8} - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.5.2

Factorisez $5$ à partir de $2070 x^{8}$ .

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) - 5}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.5.3

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$\frac{5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.5.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (351 x^{16}) + 5 (414 x^{8})$ .

$\frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$

Étape 2.29.5.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (351 x^{16} + 414 x^{8}) + 5 (- 1)$ .

$f'' (x) = \frac{5 (351 x^{16} + 414 x^{8} - 1)}{36 {(x^{9} + x)}^{\frac{7}{6}}}$