Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{\cos (x)}{e^{x}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Étape 1.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Étape 1.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 1.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.1.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{x} \sin (x) - \cos (x) e^{x}$ .

$\frac{- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (- \sin (x)) + e^{x} (- \cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- \sin (x) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x) - \cos (x)$ .

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Étape 1.5.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{e^{x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

$\frac{e^{x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez le signe négatif.

$\frac{- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x}}$

Étape 1.5.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{2 x} (- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.5.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{1}$

Étape 1.5.3.2.4

Divisez $- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$ par $1$ .

$- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))$

Étape 1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \sin (x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x} \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{- x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{- x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.2.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) + \frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- x} \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- x} \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Étape 2.3.2

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Étape 2.3.8

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Étape 2.3.9

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$- (e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (e^{- x} \cos (x)) - (\sin (x) (- e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 1 (\sin (x) (e^{- x})) - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} - (e^{- x} (- \sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + 1 (e^{- x} (\sin (x))) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.3.4

Multipliez $e^{- x}$ par $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) - (\cos (x) (- e^{- x}))$

Étape 2.4.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + 1 (\cos (x) (e^{- x}))$

Étape 2.4.3.6

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$- e^{- x} \cos (x) + \sin (x) e^{- x} + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Étape 2.4.3.7

Additionnez $\sin (x) e^{- x}$ et $e^{- x} \sin (x)$ .

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Étape 2.4.3.7.1

Remettez dans l’ordre $\sin (x)$ et $e^{- x}$ .

$- e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \sin (x) + e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Étape 2.4.3.7.2

Additionnez $e^{- x} \sin (x)$ et $e^{- x} \sin (x)$ .

$- e^{- x} \cos (x) + 2 e^{- x} \sin (x) + \cos (x) e^{- x}$

Étape 2.4.3.8

Additionnez $- e^{- x} \cos (x)$ et $\cos (x) e^{- x}$ .

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Étape 2.4.3.8.1

Remettez dans l’ordre $\cos (x)$ et $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} \sin (x) - e^{- x} \cos (x) + e^{- x} \cos (x)$

Étape 2.4.3.8.2

Additionnez $- e^{- x} \cos (x)$ et $e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} \sin (x) + 0$

Étape 2.4.3.9

Additionnez $2 e^{- x} \sin (x)$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 e^{- x} \sin (x)$