Calcul infinitésimal Exemples

$y = (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ et $g (x) = e^{4 x}$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.3.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.3.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $(3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 2 x^{2} + 2]$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{4} + 2 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.7

Multipliez $4$ par $3$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [2])$

Étape 1.3.11

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x + 0)$

Étape 1.3.12

Additionnez $12 x^{3} + 4 x$ et $0$ .

$4 (3 x^{4} + 2 x^{2} + 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 (3 x^{4}) + 4 (2 x^{2}) + 4 \cdot 2) e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Étape 1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3} + 4 x)$

Étape 1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 (3 x^{4}) e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Étape 1.4.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.4.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 4 (2 x^{2}) e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 4 \cdot 2 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Étape 1.4.4.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$12 x^{4} e^{4 x} + 8 x^{2} e^{4 x} + 8 e^{4 x} + e^{4 x} (12 x^{3}) + e^{4 x} (4 x)$

Étape 1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 e^{4 x} x^{4} + 8 e^{4 x} x^{2} + 12 e^{4 x} x^{3} + 4 e^{4 x} x + 8 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{4 x} x^{4}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{4 x}$ et $g (x) = x^{4}$ .

$12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{4}] + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.2.8

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x} x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{4 x} x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.2

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.3.8

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 e^{4 x} x^{3}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 e^{4 x} x^{3}$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.2

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{3}] + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.4.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.4.8

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x} x]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 e^{4 x} x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 \frac{d}{d x} [e^{4 x} x] + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{4 x}$ et $g (x) = x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [e^{4 x}]) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.5.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{4}$ comme $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (\frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.4.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ est $a^{u_{4}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{u_{4}} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{4}$ par $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} \cdot 1 + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.7

Multipliez $e^{4 x}$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} (4 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (e^{4 x} \cdot 4)) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.5.9

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + \frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$

Étape 2.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 e^{4 x}]$ .

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Étape 2.6.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 e^{4 x}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.6.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{5}$ comme $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (\frac{d}{d u_{5}} [e^{u_{5}}] \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.6.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{5}} [a^{u_{5}}]$ est $a^{u_{5}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{u_{5}} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.6.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{5}$ par $4 x$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Étape 2.6.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (4 \cdot 1))$

Étape 2.6.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} \cdot 4)$

Étape 2.6.6

Déplacez $4$ à gauche de $e^{4 x}$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 8 (4 \cdot e^{4 x})$

Étape 2.6.7

Multipliez $4$ par $8$ .

$12 (e^{4 x} (4 x^{3}) + x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x) + x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2}) + x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 (e^{4 x} + x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.4

Appliquez la propriété distributive.

$12 (e^{4 x} (4 x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5

Associez des termes.

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Étape 2.7.5.1

Multipliez $4$ par $12$ .

$48 (e^{4 x} (x^{3})) + 12 (x^{4} (4 e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.2

Multipliez $4$ par $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 (x^{4} (e^{4 x})) + 8 (e^{4 x} (2 x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 (e^{4 x} (x)) + 8 (x^{2} (4 e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.4

Multipliez $4$ par $8$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 (x^{2} (e^{4 x})) + 12 (e^{4 x} (3 x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.5

Multipliez $3$ par $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 (e^{4 x} (x^{2})) + 12 (x^{3} (4 e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.6

Multipliez $4$ par $12$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x} x^{2} + 48 (x^{3} (e^{4 x})) + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.7

Additionnez $32 x^{2} e^{4 x}$ et $36 e^{4 x} x^{2}$ .

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Étape 2.7.5.7.1

Déplacez $e^{4 x}$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 32 x^{2} e^{4 x} + 36 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.7.2

Additionnez $32 x^{2} e^{4 x}$ et $36 x^{2} e^{4 x}$ .

$48 e^{4 x} x^{3} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.8

Additionnez $48 e^{4 x} x^{3}$ et $48 x^{3} e^{4 x}$ .

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Étape 2.7.5.8.1

Déplacez $e^{4 x}$ .

$48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.8.2

Additionnez $48 x^{3} e^{4 x}$ et $48 x^{3} e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 4 (x (4 e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 e^{4 x} x + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 16 (x (e^{4 x})) + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.10

Additionnez $16 e^{4 x} x$ et $16 x e^{4 x}$ .

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Étape 2.7.5.10.1

Déplacez $e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 16 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.10.2

Additionnez $16 x e^{4 x}$ et $16 x e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + 32 e^{4 x}$

Étape 2.7.5.11

Additionnez $4 e^{4 x}$ et $32 e^{4 x}$ .

$96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$

Étape 2.7.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$

Étape 2.7.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $96 e^{4 x} x^{3} + 48 e^{4 x} x^{4} + 32 e^{4 x} x + 68 e^{4 x} x^{2} + 36 e^{4 x}$ .

$f'' (x) = 96 x^{3} e^{4 x} + 48 x^{4} e^{4 x} + 32 x e^{4 x} + 68 x^{2} e^{4 x} + 36 e^{4 x}$