Calcul infinitésimal Exemples

$f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 θ)$ .

$2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sec (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 θ$ .

$2 \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.3

Élevez $\sec (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.4

Élevez $\sec (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 {\sec (2 θ)}^{1 + 1} (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) (\tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 1.7

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 1.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ) \cdot 1$

Étape 1.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (θ) = 4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $4 \sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)$ par rapport à $θ$ est $4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$ .

$4 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ) \tan (2 θ)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ est $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ où $f (θ) = \sec^{2} (2 θ)$ et $g (θ) = \tan (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [\tan (2 θ)] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \tan (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec^{2} (u_{1})$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 θ$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) (\sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.4

Multipliez $\sec^{2} (2 θ)$ par $\sec^{2} (2 θ)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $\sec^{2} (2 θ)$ .

$4 (\sec^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 ({\sec (2 θ)}^{2 + 2} \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.4.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ] + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) (2 \cdot 1) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.5.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$4 (\sec^{4} (2 θ) \cdot 2 + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.5.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{4} (2 θ)$ .

$4 (2 \cdot \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (2 θ)])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{2}$ et $g (θ) = \sec (2 θ)$ .

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Étape 2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 u_{2} \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Étape 2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + \tan (2 θ) (2 \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)]))$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $\tan (2 θ)$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \cdot \tan (2 θ) \sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [\sec (2 θ)])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = \sec (θ)$ et $g (θ) = 2 θ$ .

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Étape 2.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\frac{d}{d u_{3}} [\sec (u_{3})] \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.8.2

La dérivée de $\sec (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sec (u_{3}) \tan (u_{3})$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (u_{3}) \tan (u_{3}) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 θ$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \tan (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.9

Élevez $\tan (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.10

Élevez $\tan (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 (\tan^{1} (2 θ) \tan^{1} (2 θ)) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.11

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 {\tan (2 θ)}^{1 + 1} \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.12

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec (2 θ) (\sec (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ]))$

Étape 2.13

Élevez $\sec (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 2.14

Élevez $\sec (2 θ)$ à la puissance $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) (\sec^{1} (2 θ) \sec^{1} (2 θ)) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 2.15

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) {\sec (2 θ)}^{1 + 1} \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 2.16

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [2 θ])$

Étape 2.17

Comme $2$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $2 θ$ par rapport à $θ$ est $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 2 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) (2 \frac{d}{d θ} [θ]))$

Étape 2.18

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Étape 2.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ) \cdot 1)$

Étape 2.20

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 (2 \sec^{4} (2 θ) + 4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Étape 2.21

Simplifiez

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Étape 2.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (2 \sec^{4} (2 θ)) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Étape 2.21.2

Associez des termes.

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Étape 2.21.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 4 (4 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ))$

Étape 2.21.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$8 \sec^{4} (2 θ) + 16 \tan^{2} (2 θ) \sec^{2} (2 θ)$

Étape 2.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (θ) = 16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (θ)$ par rapport à $θ$ est $16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$ .

$16 \sec^{2} (2 θ) \tan^{2} (2 θ) + 8 \sec^{4} (2 θ)$