Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{4} \tan (2 x + 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} \cdot \tan (2 x + 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\tan (2 x + 1)]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 1.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$\frac{1}{4} (\sec^{2} (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Associez $\sec^{2} (2 x + 1)$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 1.3.6

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} (2 + 0)$

Étape 1.3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.7.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4} \cdot 2$

Étape 1.3.7.2

Associez $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{4}$ et $2$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x + 1) \cdot 2}{4}$

Étape 1.3.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec^{2} (2 x + 1)}{4}$

Étape 1.3.7.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.3.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sec^{2} (2 x + 1)$ .

$\frac{2 (\sec^{2} (2 x + 1))}{4}$

Étape 1.3.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x + 1)}{2 \cdot 2}$

Étape 1.3.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{\sec^{2} (2 x + 1)}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sec^{2} (2 x + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (2 x + 1)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{1}{2} (2 \sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Étape 2.3

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} (\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)])$

Étape 2.3.2

Associez $\sec (2 x + 1)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x + 1) \cdot 2}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sec (2 x + 1)$ .

$\frac{2 \cdot \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Étape 2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec (2 x + 1)}{2} \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Étape 2.3.4.2

Divisez $\sec (2 x + 1)$ par $1$ .

$\sec (2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sec (2 x + 1)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 2 x + 1$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.4.2

La dérivée de $\sec (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x + 1$ .

$\sec (2 x + 1) (\sec (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.5

Élevez $\sec (2 x + 1)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.6

Élevez $\sec (2 x + 1)$ à la puissance $1$ .

$\sec^{1} (2 x + 1) \sec^{1} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sec (2 x + 1)}^{1 + 1} (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) (\tan (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.10

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.12

Multipliez $2$ par $1$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.13

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) (2 + 0)$

Étape 2.14

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.14.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1) \cdot 2$

Étape 2.14.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x + 1) \tan (2 x + 1)$