Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(x^{2} + 7 x)}^{40}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{40}$ et $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{40}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 40$ .

$40 u^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7 x$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x])$

Étape 1.2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7 \cdot 1)$

Étape 1.2.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$f' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)$ par rapport à $x$ est $40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$ .

$40 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 x + 7)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ et $g (x) = 2 x + 7$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \frac{d}{d x} [2 x + 7] + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + \frac{d}{d x} [7]) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.5

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} (2 + 0) + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$40 ({(x^{2} + 7 x)}^{39} \cdot 2 + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.3.6.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 (2 \cdot {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7 x)}^{39}])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{39}$ et $g (x) = x^{2} + 7 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (\frac{d}{d u} [u^{39}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 39$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 u^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 7 x$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + (2 x + 7) (39 {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x]))$

Étape 2.5

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Déplacez $39$ à gauche de $2 x + 7$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 \cdot (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7 x])$

Étape 2.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 7 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + \frac{d}{d x} [7 x]))$

Étape 2.5.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7 \cdot 1))$

Étape 2.5.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 (2 x + 7) {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 x + 7))$

Étape 2.6

Élevez $2 x + 7$ à la puissance $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} (2 x + 7)) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.7

Élevez $2 x + 7$ à la puissance $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 ({(2 x + 7)}^{1} {(2 x + 7)}^{1}) {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{1 + 1} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$40 (2 {(x^{2} + 7 x)}^{39}) + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.10.2

Multipliez $2$ par $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 40 (39 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.10.3

Multipliez $39$ par $40$ .

$80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 ({(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38})$

Étape 2.10.4

Factorisez $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ à partir de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39} + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.4.1

Factorisez $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ à partir de $80 {(x^{2} + 7 x)}^{39}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$

Étape 2.10.4.2

Factorisez $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ à partir de $1560 {(2 x + 7)}^{2} {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ .

$40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$

Étape 2.10.4.3

Factorisez $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38}$ à partir de $40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x)) + 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (39 {(2 x + 7)}^{2})$ .

$f'' (x) = 40 {(x^{2} + 7 x)}^{38} (2 (x^{2} + 7 x) + 39 {(2 x + 7)}^{2})$