Calcul infinitésimal Exemples

$y = 7^{x^{6} + 8}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 7^{x}$ et $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6} + 8$ .

$\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6} + 8$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 1.2.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)$

Étape 1.2.4

Additionnez $6 x^{5}$ et $0$ .

$7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réorganisez les facteurs de $7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})$ .

$6 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{5} \ln (7)$

Étape 1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{5} \ln (7)$ .

$f' (x) = 6 x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $6 \ln (7)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ par rapport à $x$ est $6 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$6 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{5} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$6 \ln (7) (x^{5} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 7^{x}$ et $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{6} + 8$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{6} + 8$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.4.4

Additionnez $6 x^{5}$ et $0$ .

$6 \ln (7) (x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5

Multipliez $x^{5}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.1

Déplacez $x^{5}$ .

$6 \ln (7) (x^{5} x^{5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \ln (7) (x^{5 + 5} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.5.3

Additionnez $5$ et $5$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.6

Déplacez $6$ à gauche de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \ln (7) (x^{10} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2

Associez des termes.

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Étape 2.8.2.1

Multipliez $6$ par $6$ .

$36 \ln (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2.2

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln (7)))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2.3

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{1 + 1})) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$36 (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7))) + 6 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (5 x^{4}))$

Étape 2.8.2.6

Multipliez $5$ par $6$ .

$36 x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)) + 30 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4}$

Étape 2.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$36 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{10} \ln^{2} (7) + 30 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4} \ln (7)$

Étape 2.8.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $36 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{10} \ln^{2} (7) + 30 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{4} \ln (7)$ .

$f'' (x) = 36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$ .

$\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $36 \ln^{2} (7)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $36 x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)$ par rapport à $x$ est $36 \ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$36 \ln^{2} (7) \frac{d}{d x} [x^{10} \cdot 7^{x^{6} + 8}] + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{10}$ et $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 7^{x}$ et $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Étape 3.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (\frac{d}{d u_{1}} [7^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{u_{1}} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{10}]) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 10$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.8

Additionnez $6 x^{5}$ et $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.9

Multipliez $x^{10}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.9.1

Déplacez $x^{5}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{5} x^{10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 \ln^{2} (7) (x^{5 + 10} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.9.3

Additionnez $5$ et $10$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.2.10

Déplacez $6$ à gauche de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + \frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $30 \ln (7)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $30 x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ par rapport à $x$ est $30 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{4} \cdot 7^{x^{6} + 8}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 7^{x^{6} + 8}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} \frac{d}{d x} [7^{x^{6} + 8}] + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 7^{x}$ et $g (x) = x^{6} + 8$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [7^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{u_{2}} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{6} + 8$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8]) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{6} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8])) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.6

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5} + 0)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.8

Additionnez $6 x^{5}$ et $0$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) (6 x^{5})) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.9

Multipliez $x^{4}$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.9.1

Déplacez $x^{5}$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{5} x^{4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{5 + 4} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.9.3

Additionnez $5$ et $4$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln (7) \cdot (6)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.10

Déplacez $6$ à gauche de $7^{x^{6} + 8} \ln (7)$ .

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)) + 7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$36 \ln^{2} (7) (x^{15} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3

Associez des termes.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $6$ par $36$ .

$216 \ln^{2} (7) (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.2

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{2} (7) \ln^{1} (7)))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{2 + 1})) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$216 (x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7))) + 36 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (10 x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.5

Multipliez $10$ par $36$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) (7^{x^{6} + 8} (x^{9})) + 30 \ln (7) (x^{9} (6 \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.6

Multipliez $6$ par $30$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 \ln (7) (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.7

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln (7)))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.8

Élevez $\ln (7)$ à la puissance $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} (\ln^{1} (7) \ln^{1} (7)))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} {\ln (7)}^{1 + 1})) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 (x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7))) + 30 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.4.3.11

Multipliez $4$ par $30$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \ln^{2} (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} + 180 x^{9} (7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7)) + 120 \ln (7) (7^{x^{6} + 8} (x^{3}))$

Étape 3.4.3.12

Déplacez $x^{9}$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 360 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 180 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3}$

Étape 3.4.3.13

Additionnez $360 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7)$ et $180 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7)$ .

$216 x^{15} (7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7)) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \ln (7) \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3}$

Étape 3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$216 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{15} \ln^{3} (7) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3} \ln (7)$

Étape 3.4.5

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $216 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{15} \ln^{3} (7) + 540 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{9} \ln^{2} (7) + 120 \cdot 7^{x^{6} + 8} x^{3} \ln (7)$ .

$f''' (x) = 216 x^{15} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{3} (7) + 540 x^{9} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln^{2} (7) + 120 x^{3} \cdot 7^{x^{6} + 8} \ln (7)$