Calcul infinitésimal Exemples

$r = \frac{12}{θ} - \frac{4}{θ^{3}} + \frac{1}{θ^{4}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{12}{θ} - \frac{4}{θ^{3}} + \frac{1}{θ^{4}}$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$ .

$\frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{12}{θ}$ par rapport à $θ$ est $12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$ .

$12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{θ}$ comme $θ^{- 1}$ .

$12 \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$12 (- θ^{- 2}) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.2.4

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$- 12 θ^{- 2} + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{3}}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \frac{4}{θ^{3}}$ par rapport à $θ$ est $- 4 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{3}}]$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{3}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{1}{θ^{3}}$ comme ${(θ^{3})}^{- 1}$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 \frac{d}{d θ} [{(θ^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = θ^{3}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $θ^{3}$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d θ} [θ^{3}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{3}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $θ^{3}$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- {(θ^{3})}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{3}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- {(θ^{3})}^{- 2} (3 θ^{2})) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.5

Multipliez les exposants dans ${(θ^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 1.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- θ^{3 \cdot - 2} (3 θ^{2})) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- θ^{- 6} (3 θ^{2})) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- 3 θ^{- 6} θ^{2}) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.7

Multipliez $θ^{- 6}$ par $θ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.7.1

Déplacez $θ^{2}$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- 3 (θ^{2} θ^{- 6})) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- 3 θ^{2 - 6}) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.7.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 12 θ^{- 2} - 4 (- 3 θ^{- 4}) + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 3$ par $- 4$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} + \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $\frac{1}{θ^{4}}$ comme ${(θ^{4})}^{- 1}$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} + \frac{d}{d θ} [{(θ^{4})}^{- 1}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = θ^{4}$ .

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Étape 1.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $θ^{4}$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d θ} [θ^{4}]$

Étape 1.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{4}]$

Étape 1.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $θ^{4}$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - {(θ^{4})}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{4}]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - {(θ^{4})}^{- 2} (4 θ^{3})$

Étape 1.4.4

Multipliez les exposants dans ${(θ^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 1.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - θ^{4 \cdot - 2} (4 θ^{3})$

Étape 1.4.4.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - θ^{- 8} (4 θ^{3})$

Étape 1.4.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - 4 θ^{- 8} θ^{3}$

Étape 1.4.6

Multipliez $θ^{- 8}$ par $θ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.6.1

Déplacez $θ^{3}$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - 4 (θ^{3} θ^{- 8})$

Étape 1.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - 4 θ^{3 - 8}$

Étape 1.4.6.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$- 12 θ^{- 2} + 12 θ^{- 4} - 4 θ^{- 5}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{θ^{2}} + 12 θ^{- 4} - 4 θ^{- 5}$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{θ^{2}} + 12 \frac{1}{θ^{4}} - 4 θ^{- 5}$

Étape 1.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 12 \frac{1}{θ^{2}} + 12 \frac{1}{θ^{4}} - 4 \frac{1}{θ^{5}}$

Étape 1.5.4

Associez des termes.

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Étape 1.5.4.1

Associez $- 12$ et $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\frac{- 12}{θ^{2}} + 12 \frac{1}{θ^{4}} - 4 \frac{1}{θ^{5}}$

Étape 1.5.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{12}{θ^{2}} + 12 \frac{1}{θ^{4}} - 4 \frac{1}{θ^{5}}$

Étape 1.5.4.3

Associez $12$ et $\frac{1}{θ^{4}}$ .

$- \frac{12}{θ^{2}} + \frac{12}{θ^{4}} - 4 \frac{1}{θ^{5}}$

Étape 1.5.4.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{θ^{5}}$ .

$- \frac{12}{θ^{2}} + \frac{12}{θ^{4}} + \frac{- 4}{θ^{5}}$

Étape 1.5.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (θ) = - \frac{12}{θ^{2}} + \frac{12}{θ^{4}} - \frac{4}{θ^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{12}{θ^{2}} + \frac{12}{θ^{4}} - \frac{4}{θ^{5}}$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [- \frac{12}{θ^{2}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$ .

$\frac{d}{d θ} [- \frac{12}{θ^{2}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \frac{12}{θ^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \frac{12}{θ^{2}}$ par rapport à $θ$ est $- 12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{2}}]$ .

$- 12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{2}}] + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{θ^{2}}$ comme ${(θ^{2})}^{- 1}$ .

$- 12 \frac{d}{d θ} [{(θ^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = θ^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $θ^{2}$ .

$- 12 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d θ} [θ^{2}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 12 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{2}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $θ^{2}$ .

$- 12 (- {(θ^{2})}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{2}]) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 12 (- {(θ^{2})}^{- 2} (2 θ)) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.5

Multipliez les exposants dans ${(θ^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 (- θ^{2 \cdot - 2} (2 θ)) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 12 (- θ^{- 4} (2 θ)) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 12 (- 2 θ^{- 4} θ) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.7

Élevez $θ$ à la puissance $1$ .

$- 12 (- 2 (θ^{1} θ^{- 4})) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 12 (- 2 θ^{1 - 4}) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$- 12 (- 2 θ^{- 3}) + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.2.10

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$24 θ^{- 3} + \frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d θ} [\frac{12}{θ^{4}}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $\frac{12}{θ^{4}}$ par rapport à $θ$ est $12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}]$ .

$24 θ^{- 3} + 12 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{4}}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{1}{θ^{4}}$ comme ${(θ^{4})}^{- 1}$ .

$24 θ^{- 3} + 12 \frac{d}{d θ} [{(θ^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = θ^{4}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $θ^{4}$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d θ} [θ^{4}]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{4}]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $θ^{4}$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- {(θ^{4})}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{4}]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- {(θ^{4})}^{- 2} (4 θ^{3})) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.5

Multipliez les exposants dans ${(θ^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- θ^{4 \cdot - 2} (4 θ^{3})) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- θ^{- 8} (4 θ^{3})) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- 4 θ^{- 8} θ^{3}) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.7

Multipliez $θ^{- 8}$ par $θ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.7.1

Déplacez $θ^{3}$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- 4 (θ^{3} θ^{- 8})) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 θ^{- 3} + 12 (- 4 θ^{3 - 8}) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$24 θ^{- 3} + 12 (- 4 θ^{- 5}) + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 4$ par $12$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} + \frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d θ} [- \frac{4}{θ^{5}}]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- \frac{4}{θ^{5}}$ par rapport à $θ$ est $- 4 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{5}}]$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ^{5}}]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{1}{θ^{5}}$ comme ${(θ^{5})}^{- 1}$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 \frac{d}{d θ} [{(θ^{5})}^{- 1}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ est $f' (g (θ)) g' (θ)$ où $f (θ) = θ^{- 1}$ et $g (θ) = θ^{5}$ .

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Étape 2.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $θ^{5}$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{- 1}] \frac{d}{d θ} [θ^{5}])$

Étape 2.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ est $n {u_{3}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- {u_{3}}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{5}])$

Étape 2.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $θ^{5}$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- {(θ^{5})}^{- 2} \frac{d}{d θ} [θ^{5}])$

Étape 2.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- {(θ^{5})}^{- 2} (5 θ^{4}))$

Étape 2.4.5

Multipliez les exposants dans ${(θ^{5})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- θ^{5 \cdot - 2} (5 θ^{4}))$

Étape 2.4.5.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- θ^{- 10} (5 θ^{4}))$

Étape 2.4.6

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- 5 θ^{- 10} θ^{4})$

Étape 2.4.7

Multipliez $θ^{- 10}$ par $θ^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.7.1

Déplacez $θ^{4}$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- 5 (θ^{4} θ^{- 10}))$

Étape 2.4.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- 5 θ^{4 - 10})$

Étape 2.4.7.3

Soustrayez $10$ de $4$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} - 4 (- 5 θ^{- 6})$

Étape 2.4.8

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$24 θ^{- 3} - 48 θ^{- 5} + 20 θ^{- 6}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{θ^{3}} - 48 θ^{- 5} + 20 θ^{- 6}$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{θ^{3}} - 48 \frac{1}{θ^{5}} + 20 θ^{- 6}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{θ^{3}} - 48 \frac{1}{θ^{5}} + 20 \frac{1}{θ^{6}}$

Étape 2.5.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.4.1

Associez $24$ et $\frac{1}{θ^{3}}$ .

$\frac{24}{θ^{3}} - 48 \frac{1}{θ^{5}} + 20 \frac{1}{θ^{6}}$

Étape 2.5.4.2

Associez $- 48$ et $\frac{1}{θ^{5}}$ .

$\frac{24}{θ^{3}} + \frac{- 48}{θ^{5}} + 20 \frac{1}{θ^{6}}$

Étape 2.5.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{24}{θ^{3}} - \frac{48}{θ^{5}} + 20 \frac{1}{θ^{6}}$

Étape 2.5.4.4

Associez $20$ et $\frac{1}{θ^{6}}$ .

$f'' (θ) = \frac{24}{θ^{3}} - \frac{48}{θ^{5}} + \frac{20}{θ^{6}}$