Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x - 2) (x^{2} + 4 x - 5)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} + 4 x - 5$ .

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5] + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$(x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.6

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4 + 0) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.7

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) \frac{d}{d x} [x - 2]$

Étape 1.2.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.2.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) (1 + 0)$

Étape 1.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + (x^{2} + 4 x - 5) \cdot 1$

Étape 1.2.11.2

Multipliez $x^{2} + 4 x - 5$ par $1$ .

$(x - 2) (2 x + 4) + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4

Associez des termes.

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Étape 1.3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot 4 - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.6

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x + 4 \cdot x - 2 \cdot 4 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.7

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.8

Additionnez $- 4 x$ et $4 x$ .

$2 x^{2} + 0 - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.9

Additionnez $2 x^{2}$ et $0$ .

$2 x^{2} - 8 + x^{2} + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.10

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 8 + 4 x - 5$

Étape 1.3.4.11

Soustrayez $5$ de $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 4 x - 13$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x - 13$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 13]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 13$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 4 + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $6 x + 4$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 4$