Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(7 + \frac{4}{x})}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = 7 + \frac{4}{x}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 + \frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 + \frac{4}{x}$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [7 + \frac{4}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 + \frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 1.2.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}])$

Étape 1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}]$

Étape 1.2.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{x}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$4 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2.5.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} (- x^{- 2})$

Étape 1.2.7

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} x^{- 2}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3} \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{2}}$ et $- 16$ .

$\frac{- 16}{x^{2}} {(7 + \frac{4}{x})}^{3}$

Étape 1.3.2.2

Associez $\frac{- 16}{x^{2}}$ et ${(7 + \frac{4}{x})}^{3}$ .

$\frac{- 16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 {(7 + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{16 {(\frac{7 x}{x} + \frac{4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{16 {(\frac{7 x + 4}{x})}^{3}}{x^{2}}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{7 x + 4}{x}$ .

$- \frac{16 \frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Associez $16$ et $\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}$ .

$- \frac{\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}}}{x^{2}}$

Étape 1.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (\frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Étape 1.3.6

Associez.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez $x^{3}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.7.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{3 + 2}}$

Étape 1.3.7.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3} \cdot 1}{x^{5}}$

Étape 1.3.8

Multipliez $16 {(7 x + 4)}^{3}$ par $1$ .

$f' (x) = - \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{16 {(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$ .

$- 16 \frac{d}{d x} [\frac{{(7 x + 4)}^{3}}{x^{5}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(7 x + 4)}^{3}$ et $g (x) = x^{5}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- 16 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [{(7 x + 4)}^{3}] - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = 7 x + 4$ .

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Étape 2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 4$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [7 x + 4]) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + \frac{d}{d x} [4])) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} (7 + 0)) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.6.1

Additionnez $7$ et $0$ .

$- 16 \frac{x^{5} (3 {(7 x + 4)}^{2} \cdot 7) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.6.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Étape 2.5.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - {(7 x + 4)}^{3} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.5.8

Associez les fractions.

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Étape 2.5.8.1

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 16 \frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$

Étape 2.5.8.2

Associez $- 16$ et $\frac{x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{- 16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.5.8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) - 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{16 (x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ à partir de $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2}) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

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Étape 2.6.2.1.1

Factorisez $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ à partir de $16 x^{5} (21 {(7 x + 4)}^{2})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.1.2

Factorisez $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ à partir de $16 (- 5 {(7 x + 4)}^{3} x^{4})$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.1.3

Factorisez $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2}$ à partir de $16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21)) + 16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 5 (7 x + 4))$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (x \cdot (21) - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.2

Déplacez $21$ à gauche de $x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x + 4))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 5 (7 x) - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.4

Multipliez $7$ par $- 5$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 5 \cdot 4)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.5

Multipliez $- 5$ par $4$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (21 x - 35 x - 20)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.6

Soustrayez $35 x$ de $21 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 14 x - 20)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x - 20$ .

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Étape 2.6.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) - 20)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.2

Factorisez $2$ à partir de $- 20$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x) + 2 (- 10))}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.7.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 7 x) + 2 (- 10)$ .

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (2 (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

$- \frac{16 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} \cdot 2 (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Étape 2.6.2.8

Multipliez $2$ par $16$ .

$- \frac{32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{10}}$

Étape 2.6.3

Annulez le facteur commun à $x^{4}$ et $x^{10}$ .

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Étape 2.6.3.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $32 x^{4} {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{10}}$

Étape 2.6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.6.3.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{10}$ .

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{x^{4} (32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10))}{x^{4} x^{6}}$

Étape 2.6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 7 x - 10)}{x^{6}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 10)}{x^{6}}$

Étape 2.6.5

Réécrivez $- 10$ comme $- 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x) - 1 (10))}{x^{6}}$

Étape 2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (7 x) - 1 (10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- (7 x + 10))}{x^{6}}$

Étape 2.6.7

Réécrivez $- (7 x + 10)$ comme $- 1 (7 x + 10)$ .

$- \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (- 1 (7 x + 10))}{x^{6}}$

Étape 2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- - \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Étape 2.6.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Étape 2.6.10

Multipliez $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ par $1$ .

$\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$

Étape 2.6.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{(32 {(7 x + 4)}^{2}) (7 x + 10)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{32 {(7 x + 4)}^{2} (7 x + 10)}{x^{6}}$