Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{1}{3} j + 1$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

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Étape 1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $j$ .

$\frac{j}{3} + 1$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1$

Étape 2

Divisez l’addition en plus petites additions qui respectent les règles de l’addition.

$\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + 1 = \sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3} + \sum_{j = 1}^{7} 1$

Étape 3

Évaluez $\sum_{j = 1}^{7} \frac{j}{3}$ .

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Étape 3.1

Factorisez $\frac{1}{3}$ dans l’addition.

$(\frac{1}{3}) \sum_{j = 1}^{7} j$

Étape 3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $1$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{1}{3}) (\frac{7 (7 + 1)}{2})$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1.1

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{7 \cdot 8}{2}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $7$ par $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{56}{2}$

Étape 3.4.1.3

Divisez $56$ par $2$ .

$\frac{1}{3} \cdot 28$

Étape 3.4.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $28$ .

$\frac{28}{3}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{j = 1}^{7} 1$ .

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Étape 4.1

La formule pour la sommation d’une constante est :

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs dans la formule.

$(1) (7)$

Étape 4.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 5

Additionnez les résultats des additions.

$\frac{28}{3} + 7$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 7 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 6.2

Associez $7$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{7 \cdot 3}{3}$

Étape 6.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 + 7 \cdot 3}{3}$

Étape 6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{28 + 21}{3}$

Étape 6.4.2

Additionnez $28$ et $21$ .

$\frac{49}{3}$