Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x)$ , $[1, 8]$

Étape 1

Si $f$ est continu sur l’intervalle $[a, b]$ et différentiable sur $(a, b)$ , au moins un nombre réel $c$ existe sur l’intervalle $(a, b)$ de telle sorte que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Le théorème de la valeur moyenne exprime la relation entre la pente de la tangente à la courbe sur $x = c$ et la pente de la droite passant par les points $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .

Si $f (x)$ est continu sur $[a, b]$

et si $f (x)$ différentiable sur $(a, b)$ ,

alors il existe au moins un point, $c$ dans $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Étape 2

Vérifiez si $f (x) = \ln (x)$ est continu.

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Étape 2.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $[1, 8]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \ln (x)$ .

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Étape 2.1.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 2.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 2.2

$f (x)$ est continu sur $[1, 8]$ .

La fonction est continue.

Étape 3

Déterminez la dérivée.

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Étape 3.1

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{1}{x}$

Étape 3.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 4

Déterminez si la dérivée est continue sur $(1, 8)$ .

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Étape 4.1

Pour déterminer si la fonction est continue sur $(1, 8)$ ou non, déterminez le domaine de $f' (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 4.1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 4.2

$f' (x)$ est continu sur $(1, 8)$ .

La fonction est continue.

Étape 5

La fonction est différentiable sur $(1, 8)$ car la dérivée est continue sur $(1, 8)$ .

La fonction est différentiable.

Étape 6

$f (x)$ respecte les deux conditions du théorème de la moyenne. Il est continu sur $[1, 8]$ et différentiable sur $(1, 8)$ .

$f (x)$ est continu sur $[1, 8]$ et différentiable sur $(1, 8)$ .

Étape 7

Évaluez $f (a)$ à partir de l’intervalle $[1, 8]$ .

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Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 7.2.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 8

Évaluez $f (b)$ à partir de l’intervalle $[1, 8]$ .

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Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f (8) = \ln (8)$

Étape 8.2

La réponse finale est $\ln (8)$ .

$\ln (8)$

Étape 9

Résolvez $\frac{1}{x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ pour $x$ . $\frac{1}{x} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

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Étape 9.1

Factorisez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8) + 0}{(8) - (1)}$

Étape 9.1.2

Additionnez $\ln (8)$ et $0$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{(8) - (1)}$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{8 - 1}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{1}{x} = \frac{\ln (8)}{7}$

Étape 9.1.5

Réécrivez $\frac{\ln (8)}{7}$ comme $\frac{1}{7} \ln (8)$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{7} \ln (8)$

Étape 9.1.6

Simplifiez $\frac{1}{7} \ln (8)$ en déplaçant $\frac{1}{7}$ dans le logarithme.

$\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Étape 9.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 9.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 9.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 9.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 9.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = \ln (8^{\frac{1}{7}})$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Étape 9.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \ln (8^{\frac{1}{7}}) x$

Étape 9.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (8^{\frac{1}{7}}) x$ .

$1 = x \ln (8^{\frac{1}{7}})$

Étape 9.4

Résolvez l’équation.

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Étape 9.4.1

Réécrivez l’équation comme $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ .

$x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$

Étape 9.4.2

Divisez chaque terme dans $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ par $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ et simplifiez.

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Étape 9.4.2.1

Divisez chaque terme dans $x \ln (8^{\frac{1}{7}}) = 1$ par $\ln (8^{\frac{1}{7}})$ .

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Étape 9.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \ln (8^{\frac{1}{7}})}{\ln (8^{\frac{1}{7}})} = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Étape 9.4.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$

Étape 10

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 8$ .

Il y a une droite tangente sur $x = \frac{1}{\ln (8^{\frac{1}{7}})}$ parallèle à la droite qui passe par les points finaux $a = 1$ et $b = 8$

Étape 11