Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x + 1) (7 \sqrt{x} + 2)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = 7 \sqrt{x} + 2$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x} + 2] + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 \sqrt{x} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$(x + 1) (7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$(x + 1) (7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x + 1) (7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.10

Associez $7$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$(x + 1) (\frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2]) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) (\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.2

Additionnez $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 4.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) (1 + 0)$

Étape 4.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x + 1) \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (7 \sqrt{x} + 2) \cdot 1$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3

Associez des termes.

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Étape 5.3.1

Associez $x$ et $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x \cdot 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$\frac{7 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.3

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.4.1

Déplacez $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4.2

Multipliez $x^{- \frac{1}{2}}$ par $x$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{7 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{7 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} \cdot 1 + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2 \cdot 1$

Étape 5.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 7 \sqrt{x} + 2$

Étape 5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{7 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 2 + 7 \sqrt{x}$