Calcul infinitésimal Exemples

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} \sin (θ)$

Étape 1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\tan (θ) = \frac{opposé}{adjacent}$

Étape 2

Déterminez l’hypoténuse du triangle du cercle unité. Les côtés opposé et adjacent étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Hypoténuse = \sqrt{{opposé}^{2} + {adjacent}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Hypoténuse = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{3}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Étape 4.3.5

Évaluez l’exposant.

Hypoténuse $= \sqrt{4 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $4$ par $3$ .

Hypoténuse $= \sqrt{12 + {(3)}^{2}}$

Étape 4.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

Hypoténuse $= \sqrt{12 + 9}$

Étape 4.6

Additionnez $12$ et $9$ .

Hypoténuse $= \sqrt{21}$

Étape 5

Déterminez la valeur du sinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer la valeur de $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{21}}$

Étape 5.3

Simplifiez la valeur de $\sin (θ)$ .

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Étape 5.3.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\sqrt{21}$ en un radical unique.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3}{21}}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $21$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 (1)}{21}}$

Étape 5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Étape 5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 7}}$

Étape 5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 2 \sqrt{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{7}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}})$

Étape 5.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}})$

Étape 5.3.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}})$

Étape 5.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Étape 5.3.6.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Étape 5.3.6.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}})$

Étape 5.3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

Étape 5.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}})$

Étape 5.3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 5.3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 5.3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 5.3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}})$

Étape 5.3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Étape 5.3.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (θ) = 2 (\frac{\sqrt{7}}{7})$

Étape 5.3.7

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{7}}{7}$ .

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\cos (θ)$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Étape 6.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 6.3.2.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 6.3.2.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 6.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 6.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

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Étape 6.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Étape 6.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{21}$

Étape 6.3.3

Annulez le facteur commun à $3$ et $21$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{21}$ .

$\cos (θ) = \frac{3 (\sqrt{21})}{21}$

Étape 6.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (θ) = \frac{3 \sqrt{21}}{3 \cdot 7}$

Étape 6.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Étape 7

Associez $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ et $\sin (θ)$ .

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\cot (θ)$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $\sqrt{3}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 8.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 8.3.2.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Étape 8.3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 8.3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.2.7.5

Évaluez l’exposant.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cot (θ) = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Étape 8.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{21}}{2 \sqrt{3}}$

Étape 10.3

Simplifiez la valeur de $\csc (θ)$ .

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Étape 10.3.1

Associez $\sqrt{21}$ et $\sqrt{3}$ en un radical unique.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{21}{3}}}{2}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $21$ et $3$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $21$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3}}}{2}$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 (1)}}}{2}$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 1}}}{2}$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{\frac{7}{1}}}{2}$

Étape 10.3.2.2.4

Divisez $7$ par $1$ .

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (θ) = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{21}}{7}$

$\tan (θ) = \frac{2 \sqrt{3} \sin (θ)}{3}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{21}}{3}$

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{7}}{2}$