Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ ; $[- 2, 2]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.5

Associez $\frac{12}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.6

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 1.1.1.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.2.6.2.4

Divisez $4 x^{2}$ par $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{2} - 12 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{2} - 12$ .

$4 x^{2} - 12$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{2} - 12 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{2} - 12 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $12$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} = 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 12$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 12$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{12}{4}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{12}{4}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{4}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $12$ par $4$ .

$x^{2} = 3$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 1.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{3}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(\sqrt{3})}^{3} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{3^{3}} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{27} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.3.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{9 (3)} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.3.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (3 (\sqrt{3})) - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot (3 \sqrt{3}) - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}$

$4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $12 \sqrt{3}$ de $4 \sqrt{3}$ .

$- 8 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(- \sqrt{3})}^{3} - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- {\sqrt{3}}^{3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{3^{3}}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{27}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.5

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{9 (3)}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{4}{3} \cdot (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{4}{3} \cdot (- (3 \sqrt{3})) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.2.2.1.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- (3 \sqrt{3})$ .

$\frac{4}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot (3 (- (\sqrt{3}))) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot (- (\sqrt{3})) - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \cdot \sqrt{3} - 12 (- \sqrt{3})$

Étape 1.4.2.2.1.9

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$- 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 4 \sqrt{3}$ et $12 \sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{3}, - 8 \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 8 \sqrt{3})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot - 8 - 12 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot - 8$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $- 8$ .

$\frac{4 \cdot - 8}{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $- 8$ .

$\frac{- 32}{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32}{3} - 12 \cdot - 2$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 24$

Étape 2.1.2.2

Pour écrire $24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 24 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.1.2.3

Associez $24$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{24 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 32 + 24 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $24$ par $3$ .

$\frac{- 32 + 72}{3}$

Étape 2.1.2.5.2

Additionnez $- 32$ et $72$ .

$\frac{40}{3}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{4}{3} \cdot 8 - 12 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $\frac{4}{3} \cdot 8$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $8$ .

$\frac{4 \cdot 8}{3} - 12 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.2.2

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{32}{3} - 12 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$\frac{32}{3} - 24$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $- 24$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 24 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.2.2.3

Associez $- 24$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3}$

Étape 2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{32 - 24 \cdot 3}{3}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$\frac{32 - 72}{3}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $72$ de $32$ .

$\frac{- 40}{3}$

Étape 2.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{40}{3}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, \frac{40}{3}), (2, - \frac{40}{3})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- \sqrt{3}, 8 \sqrt{3})$

Minimum absolu : $(\sqrt{3}, - 8 \sqrt{3})$

Étape 4