Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x (12 - x)$ ; $(- \infty, \infty)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 12 - x$ .

$x \frac{d}{d x} [12 - x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x] + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x]) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- 1 \cdot 1) + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x \cdot - 1 + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- 1 \cdot x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x + (12 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x + (12 - x) \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.1.1.2.8.1

Multipliez $12 - x$ par $1$ .

$- x + 12 - x$

Étape 1.1.1.2.8.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f' (x) = - 2 x + 12$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + 12$ .

$- 2 x + 12$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 12 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x + 12 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 12$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 12$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 12$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 12}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 12$ par $- 2$ .

$x = 6$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x (12 - x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$(6) (12 - (6))$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$6 (12 - 6)$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $6$ de $12$ .

$6 \cdot 6$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $6$ par $6$ .

$36$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(6, 36)$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 6) \cup (6, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 6)$ dans la dérivée première $- 2 x + 12$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 12$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$f' (0) = 12$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $12$ .

$12$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(6, \infty)$ dans la dérivée première $- 2 x + 12$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = - 2 \cdot 8 + 12$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$f' (8) = - 16 + 12$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 16$ et $12$ .

$f' (8) = - 4$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $- 4$ .

$- 4$

Étape 2.4

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 6$ , $x = 6$ est un maximum local.

$x = 6$ est un maximum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(6, 36)$

Aucun minimum absolu

Étape 4